1、1高考达标检测（三十一） 垂直问题 3角度线线、线面、面面一、选择题1(2018天津模拟)设 l是直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A若 l ， l ，则 B若 l ， l ，则 C若 ， l ，则 l D若 ， l ，则 l 解析：选 B 对于 A，若 l ， l ，则 或 与 相交，故 A错；易知 B正确；对于 C，若 ， l ，则 l 或 l ，故 C错；对于 D，若 ， l ，则 l与 的位置关系不确定，故 D错选 B.2设 m， n是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面下列命题中正确的有( )若 m ， ，则 m ；若 ， m ，则 m ；若 n ， n ，
2、 m ，则 m ；若 ， ，则 .A BC D解析：选 D 由面面垂直的性质定理知，若 m ， ，且 m垂直于 ， 的交线时， m ，故错误；若 ，则 ， 无交点又 m ，所以 m ，故正确；若 n ， n ，则 .又 m ，所以 m ，故正确；若 ， ，不能得出 ，故错误3(2018南昌模拟)已知 m， n为异面直线， m平面 ， n平面 .直线 l满足l m， l n， l ， l ，则( )A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l解析：选 D 由于 m， n为异面直线， m平面 ， n平面 ，则平面 与平面 必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线
3、 m， n，又直线 l满足 l m， l n，则交线平行于 l.4设 a， b是夹角为 30的异面直线，则满足条件“ a ， b ，且 ”的平面 ， ( )A不存在 B有且只有一对C有且只有两对 D有无数对解析：选 D 过直线 a的平面 有无数个，当平面 与直线 b平行时，两直线的公垂2线与 b确定的平面 ，当平面 与 b相交时，过交点作平面 的垂线与 b确定的平面 .故选 D.5.如图，矩形 ABCD中， AB2 AD， E为边 AB的中点，将 ADE沿直线 DE翻转成 A1DE(A平面 ABCD)，若 M， O分别为线段 A1C， DE的中点，则在 ADE翻转过程中，下列说法错误的是( )
4、A与平面 A1DE垂直的直线必与直线 MB垂直B异面直线 BM与 A1E所成角是定值C一定存在某个位置，使 DE MOD三棱锥 A1ADE外接球半径与棱 AD的长之比为定值解析：选 C 取 DC的中点 N，连接 MN， NB，则 MN A1D， NB DE，平面 MNB平面 A1DE， MB平面 A1DE，故 A正确；取 A1D的中点 F，连接 MF， EF，则四边形 EFMB为平行四边形，则 A1EF为异面直线 BM与 A1E所成角，故 B正确；点 A关于直线 DE的对称点为 N，则 DE平面 AA1N，即过 O与 DE垂直的直线在平面 AA1N上，故 C错误；三棱锥 A1ADE外接球半径为
5、 AD，故 D正确226(2018宝鸡质检)对于四面体 ABCD，给出下列四个命题：若 AB AC， BD CD，则 BC AD；若 AB CD， AC BD，则 BC AD；若 AB AC， BD CD，则 BC AD；若 AB CD， AC BD，则 BC AD.其中为真命题的是( )A BC D解析：选 D 如图，取 BC的中点 M，连接 AM， DM，由AB ACAM BC，同理 DM BCBC平面 AMD，而 AD平面 AMD，故BC AD.设 A在平面 BCD内的射影为 O，连接 BO， CO， DO，由AB CDBO CD，由 AC BDCO BDO为 BCD的垂心DO BCAD
6、 BC.37如图所示，在长方形 ABCD中， AB2， BC1， E为 CD的中点， F为线段 EC上(端点除外)一动点现将 AFD沿 AF折起，使平面 ABD平面 ABCF.在平面 ABD内过点 D作DK AB， K为垂足设 AK t，则 t的取值范围是( )A. B.(12， 2) (12， 1)C. D.(32， 2) (32， 1)解析：选 B 如图所示，过点 K作 KM AF于点 M，连接 DM，易得 DM AF，与折前的图形对比，可知折前的图形中 D， M， K三点共线且 DK AF(如图所示)，于是 DAK FDA，所以 ，即 ，AKAD ADDF t1 1DF所以 t ，又 D
7、F(1,2)，故 t .1DF (12， 1)二、填空题8已知 a， b表示两条不同的直线， ， ， 表示三个不同的平面，给出下列命题：若 a， b ， a b，则 ；若 a ， a垂直于 内的任意一条直线，则 ；若 ， a， b，则 a b；若 a不垂直于平面 ，则 a不可能垂直于平面 内的无数条直线；若 a ， a ，则 .其中正确命题的序号是_解析：一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线垂直，这两个平面不一定垂直，故错误；满足两个平面垂直的定义，故正确；若 ， a， b，则 a与 b平行或相交(相交时可能垂直)，故错误；若 a不垂直于平面 ，但 a可能垂直于平面 内的无数条直线，故
8、错误；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故正确答案：49在三棱锥 P ABC中，点 P在平面 ABC中的射影为点 O，(1)若 PA PB PC，则点 O是 ABC的_心(2)若 PA PB， PB PC， PC PA，则点 O是 ABC的_心解析：如图，连接 OA， OB， OC， OP，并延长 AO交 BC于 H点，延长 BO交 AC于 D点，延长 CO交 AB于 G点(1)在 Rt POA，Rt POB和 Rt POC中，PA PC PB， OA OB OC，即 O为 ABC的外心(2) PC PA， PB PC， PA PB P， PC平面 PAB，又 AB平面 PAB， PC AB
9、，又 AB PO， PO PC P， AB平面 PGC，又 CG平面 PGC， AB CG，即 CG为 ABC边 AB的高同理可证 BD， AH为 ABC底边上的高，即 O为 ABC的垂心答案：(1)外 (2)垂10.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱长为2， AC BC1， ACB90， D是 A1B1的中点， F是 BB1上的动点， AB1， DF交于点 E.要使AB1平面 C1DF，则线段 B1F的长为_解析：设 B1F x，因为 AB1平面 C1DF， DF平面 C1DF，所以 AB1 DF.由已知可以得 A1B1 ，2设 Rt AA1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE
10、h.12又 2 h ，所以 h ， DE .2 22 2 2233 33在 Rt DB1E中， B1E .(22)2 (33)2 66由面积相等得 x，解得 x .66 x2 (22)2 22 125即线段 B1F的长为 .12答案：12三、解答题11(2017江苏高考)如图，在三棱锥 ABCD中，AB AD， BC BD，平面 ABD平面 BCD，点 E， F(E与 A， D不重合)分别在棱 AD， BD上，且 EF AD.求证：(1) EF平面 ABC；(2)AD AC.证明：(1)在平面 ABD内，因为 AB AD， EF AD，所以 EF AB.又因为 EF平面 ABC， AB平面 A
11、BC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD BD，BC平面 BCD， BC BD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BC AD.又 AB AD， BC AB B， AB平面 ABC， BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 AD AC.12(2018贵州省适应性考试)已知长方形 ABCD中， AB3， AD4.现将长方形沿对角线 BD折起，使 AC a，得到一个四面体 ABCD，如图所示(1)试问：在折叠的过程中，直线 AB与 CD能否垂直？若能，求出相应 a的值；若不能，请说明理由(2)求四
12、面体 ABCD体积的最大值6解：(1)直线 AB与 CD能垂直因为 AB AD，若 AB CD，因为 AD CD D，所以 AB平面 ACD，又因为 AC平面 ACD，从而 AB AC.此时， a ，BC2 AB2 16 9 7即当 a 时，有 AB CD.7(2)由于 BCD面积为定值，所以当点 A到平面 BCD的距离最大，即当平面 ABD平面BCD时，该四面体的体积最大，此时，过点 A在平面 ABD内作 AH BD，垂足为 H，则有 AH平面 BCD， AH就是该四面体的高在 ABD中， AH ，ABADBD 125S BCD 346，12此时 VABCD S BCDAH ，即为该四面体体
13、积的最大值13 24513(2018郑州模拟)如图，已知三棱柱 ABCA B C的侧棱垂直于底面，AB AC， BAC90，点 M， N分别为 A B和 B C的中点(1)证明： MN平面 AA C C；(2)设 AB AA ，当 为何值时， CN平面 A MN，试证明你的结论解：(1)证明：如图，取 A B的中点 E，连接 ME， NE.因为 M， N分别为 A B和 B C的中点，所以 NE A C， ME BB AA.又 A C平面 AA C C， A A平面 AA C C，所以 ME平面 AA C C， NE平面 AA C C，因为 ME NE E，所以平面 MNE平面 AA C C，
14、因为 MN平面 MNE，7所以 MN平面 AA C C.(2)当 时， CN平面 A MN，证明如下：2连接 BN，设 AA a，则 AB AA a ，由题意知 BC a ， CN BN ，2a2 12 2a2因为三棱柱 ABCA B C的侧棱垂直于底面，所以平面 A B C平面 BB C C，因为 AB AC，点 N是 B C的中点，所以 A N平面 BB C C，所以 CN A N，要使 CN平面 A MN，只需 CN BN即可，所以 CN2 BN2 BC2，即 2 2 2a2，(a212 2a2)解得 ，2故当 时， CN平面 A MN.2如图，在四棱锥 S ABCD中，平面 SAD平面
15、 ABCD.四边形ABCD为正方形，且点 P为 AD的中点，点 Q为 SB的中点(1)求证： CD平面 SAD.(2)求证： PQ平面 SCD.(3)若 SA SD，点 M为 BC的中点，在棱 SC上是否存在点 N，使得平面 DMN平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为四边形 ABCD为正方形，所以 CD AD.又因为平面 SAD平面 ABCD，且平面 SAD平面 ABCD AD，所以 CD平面 SAD.(2)证明：如图，取 SC的中点 R，连接 QR， DR.由题意知： PD BC且 PD BC.12在 SBC中，点 Q为 SB的中点，点 R
16、为 SC的中点，所以 QR BC且 QR BC，12所以 PD QR，且 PD QR，8所以四边形 PDRQ为平行四边形，所以 PQ DR.又因为 PQ平面 SCD， DR平面 SCD，所以 PQ平面 SCD.(3)存在点 N为 SC的中点，使得平面 DMN平面 ABCD.证明如下：如图，连接 PC， DM交于点 O，连接 DN， PM， SP， NM， NO，因为 PD CM，且 PD CM，所以四边形 PMCD为平行四边形，所以 PO CO.又因为点 N为 SC的中点，所以 NO SP.易知 SP AD，又因为平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD AD，所以 SP平面 ABCD，所以 NO平面 ABCD.又因为 NO平面 DMN，所以平面 DMN平面 ABCD.
