1、1课时跟踪检测（六） 椭圆的简单几何性质层级一 学业水平达标1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为( )A(13,0) B(0，10)C(0，13) D(0， )69解析：选 D 由题意知椭圆焦点在 y 轴上，且 a13， b10，则 c ，a2 b2 69故焦点坐标为(0， )692若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A B12 32C D34 64解析：选 A 依题意， BF1F2是正三角形，在 Rt OBF2中，| OF2| c，| BF2| a， OF2B60，cos 60 ，即椭圆的离心率 e
2、，故选 Aca 12 123已知椭圆 1 与椭圆 1 有相同的长轴，椭圆 1 的短轴长与x2a2 y2b2 x225 y216 x2a2 y2b2椭圆 1 的短轴长相等，则( )y221 x29A a225， b216B a29， b225C a225， b29 或 a29， b225D a225， b29解析：选 D 因为椭圆 1 的长轴长为 10，焦点在 x 轴上，椭圆 1 的短x225 y216 y221 x29轴长为 6，所以 a225， b294已知椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF xx2a2 y2b2轴，直线 AB 交 y 轴于点 P若
3、A2 B，则椭圆的离心率是( )A B32 22C D13 12解析：选 D P2 ，| AP|2|2又 PO BF， ，|PA|AB| |AO|AF| 23即 ， e aa c 23 ca 125椭圆 mx2 ny2 mn0( m0)，x2a2 5y24a2椭圆过点 P(5,4)， 125a2 5164a2解得 a245椭圆方程为 1x245 y236答案： 1x245 y2368设 F1， F2分别为椭圆 y21 的左，右焦点，点 A， B 在椭圆上，若 1FA5x233FB2，则点 A 的坐标是_解析：设 A(m， n)由 15 2，得 B (m 625 ， n5)又 A， B 均在椭圆
4、上，所以有Error!解得Error! 或Error!所以点 A 的坐标为(0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2在 x 轴上，离心率为 ，过点 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，且 ABF2的周长为 16，求椭圆 C 的标准方22程解：设椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由 e 知 ，故 ，从而 ， 由 ABF2的周长为22 ca 22 c2a2 12 a2 b2a2 12 b2a2 12|AB| BF2| AF2| AF1| AF2| BF1| BF2|4 a16，得 a
5、4， b28故椭圆 C 的标准方程为 1x216 y2810椭圆 1( ab0)的右顶点是 A(a,0)，其上存在一点 P，使 APO90，求x2a2 y2b2椭圆离心率的取值范围解：设 P(x， y)，由 APO90知，点 P 在以 OA 为直径的圆上，圆的方程是2 y2 2(xa2) (a2) y2 ax x2又 P 点在椭圆上，故 1x2a2 y2b2把代入化简，得( a2 b2)x2 a3x a2b20，即(x a)(a2 b2)x ab20， x a， x0， x ，又 0 224又0b0)，则 c y2a2 x2b2 5又 2b2，即 b1，所以 a2 b2 c26，则所求椭圆的标
6、准方程为 x2 1y264(全国丙卷)已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： 1( ab0)的左焦点， A， B 分x2a2 y2b2别为 C 的左、右顶点 P 为 C 上一点，且 PF x 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( )A B13 125C D23 34解析：选 A 如图所示，由题意得 A( a,0)， B(a,0)， F( c,0)设 E(0， m)，由 PF OE，得 ，|MF|OE| |AF|AO|则| MF| m a ca又由 OE MF，得 ，12|OE|MF| |BO|BF|则|
7、MF| m a c2a由得 a c (a c)，即 a3 c，12 e 故选 Aca 135已知椭圆 1( ab0)， A， B 分别为椭圆的左顶点和上顶点， F 为右焦点，且x2a2 y2b2AB BF，则椭圆的离心率为_解析：在 Rt ABF 中，|AB| ，| BF| a，| AF| a c，a2 b2由| AB|2| BF|2| AF|2，得 a2 b2 a2( a c)2将 b2 a2 c2代入，得 a2 ac c20，即 e2 e10，解得 e 152因为 e0，所以 e 5 12答案：5 126已知椭圆的长轴长为 20，短轴长为 16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是_解
8、析：由题意，知 a10， b8，不妨设椭圆方程为 1，其上的点 M(x0， y0)，x2100 y264则| x0| a10，| y0| b8，点 M 到椭圆中心的距离 d 因为 1，所以x20 y20x20100 y20646y 64 64 x ，则 d ，因为 0 x 100，所以20 (1x20100) 162520 x20 64 1625x20 925x20 64 2064 x 64100，即 8 d1092520答案：8,107已知椭圆 x2( m3) y2 m(m0)的离心率 e ，求实数 m 的值及椭圆的长轴长和32短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标解：椭圆方程可化为 1，x2m
9、y2mm 3由 m 0，可知 m ，mm 3 m m 2m 3 mm 3所以 a2 m， b2 ， c ，mm 3 a2 b2 m m 2m 3由 e ，得 ，解得 m132 m 2m 3 32于是椭圆的标准方程为 x2 1，y214则 a1， b ， c 12 32所以椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐标分别为 ， ；四个顶点(32， 0) (32， 0)坐标分别为(1,0)，(1,0)， ， (0， 12) (0， 12)8设 F1， F2分别是椭圆 E： 1( ab0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 x2a2 y2b2E 于 A， B 两点，| AF1|3| F1B|(1
10、)若| AB|4， ABF2 的周长为 16，求| AF2|；(2)若 cos AF2B ，求椭圆 E 的离心率35解：(1)由| AF1|3| F1B|，| AB|4，得| AF1|3，| F1B|1因为 ABF2的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a16，| AF1| AF2|2 a8故| AF2|835(2)设| F1B| k，则 k0 且| AF1|3 k，| AB|4 k7由椭圆定义可得，| AF2|2 a3 k，| BF2|2 a k在 ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2| AF2|2| BF2|22| AF2|BF2|cos AF2B，即(4 k)2(2 a3 k)2(2 a k)2 (2a3 k)(2a k)65化简可得( a k)(a3 k)0，而 a k0，故 a3 k于是有| AF2|3 k| AF1|，| BF2|5 k因此| BF2|2| F2A|2| AB|2，可得 F1A F2A，故 AF1F2为等腰直角三角形从而 c a，所以椭圆 E 的离心率 e 22 ca 22
