1、1课时跟踪检测（十三） 空间向量的数乘运算层级一 学业水平达标1已知点 M在平面 ABC内，并且对空间任意一点 O，有O x A B OC，则 x的值为( )12 16A1 B0C3 D.13解析：选 D M x A C，且 M， A， B， C四点共面，12 16 x 1， x .12 16 132已知空间向量 a， b，且 B a2 b，5 a6 b， D7 a2 b，则一定共线的三点是( )A A， B， D B A， B， CC B， C， D D A， C， D解析：选 A 2 a4 b2， A， B， D三点共线3若空间中任意四点 O， A， B， P满足 mO n B，其中 m
2、n1，则( )A P AB B PABC点 P可能在直线 AB上 D以上都不对解析：选 A 因为 m n1，所以 m1 n，所以(1 n) n ，即 O n( B O)，即 P n ，所以 P与 A共线又 A， 有公共起点 A，所以 P， A， B三点在同一直线上，即 P AB.4在下列条件中，使 M与 A， B， C一定共面的是( )A O3 2 OB 0C 02D OM B A OC14 12解析：选 C M0， ， M与 A， B， C必共面5已知正方体 ABCDA1B1C1D1中， E AC1，若 E xA1 y( B D)，14则( )A x1， y B x ， y112 12C x
3、1， y D x1， y13 14解析：选 D 因为 E A1 1 AC1 ( B AD)，所14 14以 x1， y .146化简： (a2 b3 c)5 3( a2 b c)_.12 (23a 12b 23c)解析：原式 a b c a b c3 a6 b3 c a b12 32 103 52 103 (12 103 3) (1 52 6)c a b c.(32 103 3) 56 92 76答案： a b c56 92 767在 ABC中，已知 D是 AB边上一点，若 AD2 B， C A B，则13 _.解析： C B C ( ) ，又13 13 23 13D A ，所以 .13 23
4、答案：238有下列命题：若 B C，则 A， B， C， D四点共线；若 ，则 A， B， C三点共线；3若 e1， e2为不共线的非零向量， a4 e1 e2， b e1 e2，则 a b；25 110若向量 e1， e2， e3是三个不共面的向量，且满足等式 k1e1 k2e2 k3e30，则k1 k2 k30.其中是真命题的序号是_(把所有真命题的序号都填上)解析：根据共线向量的定义，若 AB CD，则 AB CD或 A， B， C， D四点共线，故错；因为 AB C且， 有公共点 A，所以正确；由于 a4 e1 e24 e1 e24 b，所以 a b.故正确；25 110易知也正确答案
5、：9.在空间四边形 ABCD中， G为 BCD的重心， E， F分别为边 CD和 AD的中点，试化简 A BE C，并在图中标出化简结果的向量13 12解： G是 BCD的重心， BE是 CD边上的中线， GE B.13又 AC (D)12 12 F E，12 12 G BE13 12 A A (如图所示)10.如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， E， F分别在 B1B和 D1D上，且 BE BB1， DF DD1.13 23(1)证明： A， E， C1， F四点共面；(2)若 x y z 1，求 x y z的值4解：(1)证明： ABCDA1B1C1D1是平行六面体， A1 ，
6、 BE 1， F 1，13 23 C1 D A1 B D A1 113 23 E F E ，由向量共面的充要条件知(13) ( 23)A， E， C1， F四点共面(2) A D( AB) D 1 AB23 13B1 1，又13EF x y z ， x1， y1， z ，13 x y z .13层级二 应试能力达标1给出下列命题：若 A， B， C， D是空间任意四点，则有 AB C D A0；| a| b| a b|是 a， b共线的充要条件；若， 共线，则 AB CD；对空间任意一点 O与不共线的三点 A， B， C，若 OP x y B z OC (其中 x， y， zR)，则 P， A
7、， B， C四点共面其中不正确命题的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选 C 显然正确；若 a， b共线，则| a| b| a b|或|a b| a| b|，故错误；若 A， C共线，则直线 AB， CD可能重合，故错误；只有当 x y z1 时， P， A， B， C四点才共面，故错误故选 C.2若 a， b是平面 内的两个向量，则( )A 内任一向量 p a b ( ， R)B若存在 ， R 使 a b 0，则 0C若 a， b不共线，则空间任一向量 p a b ( ， R)5D若 a， b不共线，则 内任一向量 p a b ( ， R)解析：选 D 当 a与 b共线时，A 项不正确；
8、当 a与 b是相反向量， 0 时，a b 0，故 B项不正确；若 a与 b不共线，则平面 内任意向量可以用 a， b表示，对空间向量则不一定，故 C项不正确，D 项正确3已知 i与 j不共线，则存在两个非零常数 m， n，使 k mi nj是 i， j， k共面的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 若 i与 j不共线，则 k与 i， j共面存在唯一的一对实数 x， y，使k xi yj， x， y不一定非零故选 A.4若 P， A， B， C为空间四点，且有 PA PC，则 1 是A， B， C三点共线的( )A充分不必要条件 B必要不充分条
9、件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C 若 1，则 P ( P)，即 BA C，显然A， B， C三点共线；若 A， B， C三点共线，则存在实数 ，使 ，故 PP ()，整理得 (1 ) B C，令 1 ， ，则 1，故选 C.5.如图，已知空间四边形 ABCD中，AB a2 c， CD5 a6 b8 c，对角线 AC， BD的中点分别为 E， F，则 EF_(用向量 a， b， c表示)解析：设 G为 BC的中点，连接 EG， FG，则EG F AB CD12 12 (a2 c) (5a6 b8 c)12 123 a3 b5 c.答案：3 a3 b5 c6.如图所示，在四面体 O
10、ABC中， A a， OB b， C c， D为6BC的中点， E为 AD的中点，则 OE_(用 a， b， c表示)解析： A a D a ( OA) a D a (12 12 12 12 12 12 12OB C) a b c.12 14 14答案： a b c12 14 147.如图，已知 M， N分别为四面体 ABCD的面 BCD与面 ACD的重心， G为 AM上一点，且 GM GA13.求证： B， G， N三点共线证明：设 A a， C b， D c，则 BG A B M34 a (a b c)14 a b c，34 14 14BN A B (AC D)13 a b c G，13
11、13 43 .又 BN BG B， B， G， N三点共线8.如图所示，已知四边形 ABCD是平行四边形，点 P是 ABCD所在平面外的一点，连接 PA， PB， PC， PD.设点 E， F， G， H分别为 PAB， PBC， PCD， PDA的重心(1)试用向量方法证明 E， F， G， H四点共面；(2)试判断平面 EFGH与平面 ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断证明：(1)分别连接 PE， PF， PG， PH并延长，交对边于点M， N， Q， R，连接 MN， NQ， QR， RM，7 E， F， G， H分别是所在三角形的重心， M， N， Q， R是所在边的中点，且P ， P， Q， PH R.23 23 23 23由题意知四边形 MNQR是平行四边形， ( N M)( ) (PF E) (P )32 32 ( H)32又 MQ G E .32 32 32 EG F ，由共面向量定理知， E， F， G， H四点共面(2)平行证明如下：由(1)得 Q ，32 M ， EG平面 ABCD.又 N P F PE32 32 F， .32即 EF平面 ABCD.又 EG EF E，平面 EFGH与平面 ABCD平行
