1、12.4 抛 物 线241 抛物线及其标准方程预习课本 P6467，思考并完成以下问题1平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？新 知 初 探 1抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线2抛物线标准方程的几种形式图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y22 px(p0) (p2， 0)xp2y22 px(p0) (p2， 0)xp2x22 py(p0) (0，p2)yp2x22 py(p0) (0， p2)yp2小 试 身
2、 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( )(2)抛物线 y220 x 的焦点坐标是(0,5)( )答案：(1) (2)22抛物线 x2 y2的准线方程是( )A y B y12 18C x D x14 18答案：D3已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到直线 l： x2 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为_答案： y28 x求抛物线的标准方程典例 求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点 M(6,6)；(2)焦点 F 在直线 l：3 x2 y60 上解 (1)由于点 M(6,6)在第二象限，过 M
3、的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y22 px(p0)，将点 M(6,6)代入，可得 362 p(6)， p3抛物线的方程为 y26 x若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x22 py(p0)，将点 M(6,6)代入可得，362 p6， p3，抛物线的方程为 x26 y综上所述，抛物线的标准方程为 y26 x 或 x26 y(2)直线 l 与 x 轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是 F(2,0)， 2， p4，p2抛物线的标准方程是 y28 x直线 l 与 y 轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是 F(0，3)，3 3， p6，p2抛物线
4、的标准方程是 x212 y综上所述，所求抛物线的标准方程是 y28 x 或 x212 y求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数(2)方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程直接根据定义求 p，最后写标准方程利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数 活学活用求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y214 x；(2)5 x22 y0；(3) y2 ax(a0)解：(1)因为 p7，所以焦点坐标是 ，准线方程是 x (72， 0) 72(2)抛物线方程化为标准形式为 x2 y，因为 p ，所以焦点
5、坐标是 ，准线方25 15 (0， 110)程是 y 110(3)由 a0 知 p ，所以焦点坐标是 ，准线方程是 x a2 (a4， 0) a4抛物线定义的应用典例 (1)已知抛物线 C： y2 x 的焦点为 F， A(x0， y0)是 C 上一点，| AF| x0，则54x0( )A1 B2C4 D8(2)(浙江高考)如图，设抛物线 y24 x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A， B， C，其中点 A， B 在抛物线上，点C 在 y 轴上，则 BCF 与 ACF 的面积之比是( )A|BF| 1|AF| 1B|BF|2 1|AF|2 14C|BF| 1|AF| 1D|BF
6、|2 1|AF|2 1解析 (1)由题意知抛物线的准线为 x 因为| AF| x0，根据抛物线的定义可14 54得 x0 | AF| x0，解得 x01，故选 A14 54(2)由图形可知， BCF 与 ACF 有公共的顶点 F，且 A， B， C 三点共线，易知 BCF 与 ACF 的面积之比就等于 由抛物线方程知焦点|BC|AC|F(1,0)，作准线 l，则 l 的方程为 x1点 A， B 在抛物线上，过A， B 分别作 AK， BH 与准线垂直，垂足分别为点 K， H，且与 y 轴分别交于点 N， M由抛物线定义，得| BM| BF|1，| AN| AF|1在 CAN 中，BM AN，
7、|BC|AC| |BM|AN| |BF| 1|AF| 1答案 (1)A (2)A抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 活学活用1已知 F 是拋物线 y2 x 的焦点， A， B 是该拋物线上的两点，| AF| BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( )A B1 C D34 54 74解析：选 C 根据拋物线定义与梯形中位线定
8、理，得线段 AB 中点到 y 轴的距离为：(|AF| BF|) 12 14 32 14 542经过抛物线 C 的焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A、 B 两点，如果 A， B 在抛物线 C的准线上的射影分别为 A1， B1，那么 A1FB1为( )A B C D 6 4 2 23解析：选 C 由抛物线的定义可知| BF| BB1|，| AF| AA1|，故5 BFB1 BB1F， AFA1 AA1F又 OFB1 BB1F， OFA1 AA1F，故 BFB1 OFB1， AFA1 OFA1，所以 OFA1 OFB1 ，即 A1FB1 12 2 2抛物线的实际应用典例 某大桥在涨水时有最
9、大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为 20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 米，目前吃水线上部中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现有状况下还可多装 1 000 吨货物，但每多装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 004 米若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为 x 轴，竖直直线为 y 轴，建立直角坐标系因为拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米，所以 A(10，2)设桥孔上部抛物线方程是 x22 py(p0)，则 1022 p(2
10、)，所以 p25，所以抛物线方程为 x250 y，即 y x2150若货船沿正中央航行，船宽 16 米，而当 x8 时，y 82128，150即船体在 x8 之间通过， B(8，128)，此时 B 点距水面 6(128)472(米)而船体高为 5 米，所以无法通行又因为 5472028(米)，0280047，15071 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加 1 050 吨，而船最多还能装 1 000 吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔求抛物线实际应用的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系；(2)假设：设出合适的抛物线标准方程；6(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程；(
11、4)求解：求出需要求出的量；(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题 活学活用如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位下降 1米后，水面宽_米解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22 py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得 p1，所以 x22 y当 y3 时， x26，所以水面宽为 2 米6答案：2 6层级一 学业水平达标1抛物线 y12 x2上的点到焦点的距离的最小值为( )A3 B6C D148 124解析：选 C 将方程化为标准形式是 x2 y，因为 2p ，所以 p 故到焦点的112 112 124距离最小值为 1482已知
12、抛物线 y22 px(p0)的准线与圆( x3) 2 y216 相切，则 p 的值为( )A B1C2 D4解析：选 C 抛物线 y22 px 的准线 x 与圆( x3) 2 y216 相切，p2 1，即 p2p23已知抛物线 C： y28 x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 FP4 Q，则| QF|( )A B72 52C3 D27解析：选 C 过点 Q 作 QQ l 交 l 于点 Q，因为 FP4 Q，所以| PQ| PF|34，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以|QF| QQ|3故选 C4设圆 C 与圆 x2( y3)
13、21 外切，与直线 y0 相切，则 C 的圆心轨迹为( )A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆解析：选 A 由题意知，圆 C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线 y0 的距离大 1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线 y1 的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线5已知双曲线 C1： 1( a0， b0)的离心率为 2若抛物线 C2： x22 py(p0)x2a2 y2b2的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为( )A x2 y B x2 y833 1633C x28 y D x216 y解析：选 D 双曲线的渐近线方程为 y x，由于 2，所以ba
14、ca a2 b2a2 1 (ba)2 ，所以双曲线的渐近线方程为 y x抛物线的焦点坐标为 ，所以 2，所ba 3 3 (0， p2) p22以 p8，所以抛物线方程为 x216 y6抛物线 x y2的焦点坐标是_14m解析：方程改写成 y24 mx，得 2p4 m， p2 m，即焦点( m,0)答案：( m,0)7若抛物线 y24 x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_解析：设点 M 的横坐标为 x，则点 M 到准线 x1 的距离为 x1，由抛物线的定义知 x110， x9，点 M 到 y 轴的距离为 9.答案：98对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴
15、上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)8其中满足抛物线方程为 y210 x 的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线 y210 x 的焦点在 x 轴上，满足，不满足；设 M(1， y0)是 y210 x上一点，则| MF|1 1 6，所以不满足；由于抛物线 y210 x 的焦点为 ，p2 52 72 (52， 0)过该焦点的直线方程为 y k ，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则(x52)k2，此时存在，所以满足答案：9已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M(m，3)到焦点的距离
16、为 5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为 x22 py(p0)，则焦点 F ，准线 l： y ，作 MN l，垂足为 N，则(0， p2) p2|MN| MF|5，而| MN|3 ，3 5，即 p4p2 p2所以抛物线方程为 x28 y，准线方程为 y2由 m28(3)24，得 m2 6法二：设所求抛物线方程为 x22 py(p0)，则焦点为 F (0， p2) M(m，3)在抛物线上，且| MF|5，故Error!解得Error!抛物线方程为 x28 y， m2 ，准线方程为 y2610如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段
17、构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 05 米(1)以抛物线的顶点为原点 O，其对称轴所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度 AB 为 7 米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到01 米)?解：如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x22 py(p0)，因为点 C(5，5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为 x25 y(2)设车辆高为 h，则| DB| h05，故 D(35， h65)，9代入方程 x25 y，解得 h405，所以车辆通过隧道的限制高度为 40 米层级二 应试能力达标1过
18、点 A(3,0)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A圆 B椭圆C直线 D抛物线解析：选 D 设 P 为满足条件的点，则点 P 到点 A 的距离等于点 P 到 y 轴的距离，即点 P 在以点 A 为焦点， y 轴为准线的抛物线上，所以点 P 的轨迹为抛物线故选 D2抛物线 y24 x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当 FPM 为等边三角形时，其面积为( )A2 B43C6 D4 3解析：选 D 如图， FPM 是等边三角形由抛物线的定义知 PM l在 Rt MQF 中，| QF|2， QMF30，| MF|4， S PMF 424 故选 D34 33已知
19、抛物线 x24 y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 中点到 x 轴的最短距离为( )A B C1 D234 32解析：选 D 设 AB 的中点为 M，焦点为 F(0,1)过 M 作准线 l： y1 的垂线 MN，过A 作 AC l 于 C，过 B 作 BD l 于 D，则| MN| 3，所以|AC| |BD|2 |AF| |BF|2 |AB|2AB 中点到 x 轴的最短距离为 312，此时动弦 AB 过焦点，故选 D4设抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，| MF|5若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )A y24 x 或 y28
20、 x B y22 x 或 y28 xC y24 x 或 y216 x D y22 x 或 y216 x解析：选 C 由已知得抛物线的焦点 F ，设点 A(0，2)，抛物线上点 M(x0， y0)，(p2， 0)则 AF ， M 由已知得， 0，即(p2， 2) (y202p， y0 2)y 8 y0160，因而 y04， M 20 (8p， 4)10由| MF|5 得， 5，又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C(8p p2)2 165设 F 为抛物线 y24 x 的焦点， A， B， C 为该抛物线上三点，若A B C0，则| F|_解析：因为 0，所以点 F 为 ABC 的重心，则 A，
21、 B， C 三点的横坐标之和为点 F 的横坐标的三倍，即 xA xB xC3，所以| | xA1 xB1 xC16答案：66从抛物线 y24 x 上的一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且| PM|5，设抛物线的焦点为 F，则 MPF 的内切圆的面积为_解析：如图，| PM|5，点 P 的坐标为(4,4)， S PMF 541012设 PMF 的内切圆圆心为 O，半径为 r， S PMF S O PM S O PF S O MF，即 (552 )r10，解得 r ，12 5 5 52故 PMF 内切圆的面积为 r2 15 552答案： 15 5527已知 M 是抛物线 y22 px(p0)上任一点(不与原点重合)， F 是其焦点求证：以 MF 为直径的圆与 y 轴相切证明：如图，过 M 作 MN l 于 N，交 y 轴于点 Q， O是 MF 的中点，作 O R y 轴于 R| MF| MN|，| OF| OP| QN|，| O R| (|OF| QM|)12 (|QM| QN|)12 |MN| |MF|，12 12以 MF 为直径的圆与 y 轴相切
