1、- 1 -高考数学三轮复习冲刺模拟试题 05空间向量与立体几何（ 时间：60 分钟 满分 100 分）一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点.若 =a， =b，1BA1D=c，则下列向量中与 相等的向量是（ ）A1A. a+ b+c B. a+ b+c22C. a b+c D. a b+c112.下列等式中，使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是（ ）A. B.OO23 OCBAOM51321C. D.003.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点
2、，则等于（ ）DCEFA. B. C. D.414143434.若 ， ， 与 的夹角为 ，则 的值为（ ）)2,(a),(bab06A.17 或-1 B.-17 或 1 C.-1 D.15.设 ， ， ，则线段 的中点 到点 的距离为（ ),1(OA)8,23(B),(OCABPC）A. B. C. D.2354534536、在以下命题中，不正确的个数为（ ） 是 、 共线的充要条件；ba若 ，则存在唯一的实数 ，使 ；ab对空间任意一点 和不共线的三点 A、B、C，若 ，则OOCBAOP2P、A、B、C 四点共面；若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底；cba, acba,- 2
3、-（ ） abcabcA2 B3 C4 D57、ABC 的三个顶点分别是 ， ， ，则 AC 边上的高 BD 长为( )2,1(A),65(B)1,3(CA.5 B. C.4 D.28、已知非零向量 不共线，如果 ，则四点12e为 1221283eee为AD（ ）为ABCD一定共圆 恰是空间四边形的四个顶点心一定共面 肯定不共面9、已知 ， ， ，点 Q 在直线 OP 上运动，则当(1,23)O(2,1)B(1,2)OP QAB取得最小值时，点 Q 的坐标为 （ ）A B C D(,)2433(,)2448(,)347(,)310、在直三棱柱 1CA中， 2， 1AB. 已知与分别为1B和 的
4、中点，与分别为线段 和 上的动点（不包括端点）. 若GDEF，则线段 的长度的取值范围为 （ ）A. , 5 B. ,25 C. 1, D. , 25二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）11、设 ， ，且 ，则 .)3,(xa),(ybba/xy12、已知向量 ， ， 且 ，则 =_.1,0029013、已知 （3，1，5） ， （1，2，3） ，向量 与 轴垂直，且满足 abczca9， ， ，则 c4c14、如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直， AB ， AF1.， M 在 EF 上且2AM平面 BDE.则 M 点的坐标为 。- 3 -DACBDAB CP Q
5、三、解答题（15 题 11 分，16 题 11 分，17 题 12 分）15、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 PA 的长为 2，且 PA与 AB、AD 的夹角都等于 600， 是 PC 的中点，设 McbaAPDAB,（）试用 表示出向量 ；cba,B（）求 的长B16、已知正方体 的棱长为 2， 分别是 上的动点，且 ，1ABCDPQ为BCD为 2PQ确定 的位置，使 PQ为 1P17、如图，在三棱锥 中， ， ， ，PABC290CBC（）求证： ；（）求二面角 的大小的余弦；（）求点 到平面 的距离MPD CBAACBDP- 4 -18.
6、如图所示,矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=2,PA平面 ABCD,PA=2,现有数据: ;32a ; ; ; ;1a32a4(1)当在 BC 边上存在点 Q,使 PQQD 时,a 可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;(2)在满足(1)的条件下,a 取所给数据中的最大值时,求直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值;(3)记满足(1)的条件下的 Q 点为 Qn(n=1,2,3,),若 a 取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角 Qn-PA-Qn+1的大小;答案一、选择题1-5 ADBBB 6-10 CACCA二、填空题11、 9 12、 3 13、 0,52114、解：
7、M 在 EF 上，设 ME x， M ，(22x， 22x， 1) A( ， ，0)， D( ，0,0) ， E(0,0,1)， B(0， ，0)2 2 2 2 ( ，0，1)， (0， ，1)，ED 2 EB 2AM ( 22x 2， 22x 2， 1)设平面 BDE 的法向量 n( a， b， c)由Error!得， a b c.22故可取一个法向量 n(1,1， )2 n 0， x1， M 。AM ( 22， 22， 1)三、解答题15、解：（1） 是 PC 的中点， )(21)(21ABPDBPCcbacb21)(2- 5 -（2） 2,1,2,1cbaPADB为 160cos2,0,
8、60, baA),(2cbaM为 23)(14)(24141 22 cbcB.626为为B16、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，BPt得 ， 2()CQt2()DQ那么 ，2110(0)()0BPtt为从而 ， ，2()t为1(t为由 ，110QPD即 2()()41ttt故 分别为 的中点时， 为BC为1QBPD17、解：解法一：（）取 中点 ，连结 AD，PB，C，平面 A平面 ，PDB（） ， ，CAPB 又 ，又 ，即 ，且 ，90ACP平面 B取 中点 连结 PEB， AP是 在平面 内的射影，CACBEP- 6 -是二面角 的平面角BECAPC在 中， ， ， ， 902B
9、36EAB6sin3（）由（）知 平面 ，APD平面 平面 PBC过 作 ，垂足为 CH平面 平面 ，平面 的长即为点 到平面 的距离B由（）知 ，又 ，且 ，APAC平面 P平面 ，CD在 中， ， ，Rt 12B36DPB 2P2CHA点 到平面 的距离为 CA3解法二：（） ， ，BPP 又 ，AC平面 平面 ，BP（）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 Cxyz则 (0)(20)()B， ， ， ， ， ， ， ，设 t， ，BA， t()P， ，取 中点 ，连结 EC， ，CB， 是二面角 的平面角BA， ， ，(01)， ， (01)， ， (21)E， ，3cos6ECB（） ，
10、PACBPzxyHE- 7 -在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的长为点 到平面 的距离CAPBAPB HCAPB如（）建立空间直角坐标系 Cxyz，2HE点 的坐标为 23， ， 23点 到平面 的距离为 CAPB18.解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设 Q(a,x,0).(0x2)(1) ,2,20,QaxDax由 PQQD 得 22()()Px 0,0,1xax在所给数据中,a 可取 和 两个值.32a(2) 由(1)知 ,此时 x=1,即 Q 为 BC 中点, 点 Q 的坐标为(1,1,0)1a从而 又 为平面 ADP 的一个法向量,PQ10AB ,6cos,直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值为 5.(3) 由(1)知 ,此时 ,即满足条件的点 Q 有两个, 32a132x或其坐标为 12,0,0Q和PA平面 ABCD,PAAQ 1,PAAQ 2,Q 1AQ2就是二面角 Q1-PA-Q2的平面角.由 ,得Q 1AQ2=30,121234cos,A二面角 Q1-PA-Q2的大小为 30.
