1、第四章 平面图与图的着色 4.1 平面图,定义 4.1.1若能把图G画在一个平面上，使任何两条边都不相交，就称G可嵌入平面，或称G是可平面图。可平面图在平面的一个嵌入称为平面图。 如果G是可平面图，那么它的任何导出子图也是可平面图。,平面图,定义 4.1.2设G是一个平面图，由它的若干条边所构成的一个区域内如果不含任何结点及边，就称该区域为G的一个面或域。包围这个域的诸边称为该域的边界。 为了讨论方便，我们把平面图G外边的无限区域称为无限域，其他的域都叫做内部域。如果两个域有共同的边界，就说它们是相邻的，否则是不相邻的。如果e不是割边，它一定是某两个域的共同边界。,平面图,定理 4.1.1设G
2、是平面连通图，则G的域的数目是d = m n + 2。证明：G是连通图，有支撑树T，它包含n-1条边，不产生回路，因此对T来说只有一个无限域。由于G是平面图，每加入一条余树边，它一定不与其他边相交，也就是说一定是跨在某个域内部，把该区域分成两部分。这样，加入G的m-n+1条余树边，就生成了m-n+2个域。,平面图,推论 4.1.1若平面图G有k个连通支，则n m + d = k + 1。 推论 4.1.2对一般平面图G，恒有n m + d = 2。,平面图,定理 4.1.2设平面连通图G没有割边，且每个域的边界数至少是t，则m t ×(n - 2) / (t 2)证明：设G有d个区域
3、，每个域的边界数至少是t，且每条边都与两个不同的域相邻。因此td2m。代入欧拉公式： (2m / t) m - n + 2， 即， m t × (n - 2) / (t 2)。,4.2 极大平面图,定义 4.2.1设G是n=3的简单平面图，若在任意两个不相连节点之间加入边就会破坏图的平面性，就称G 是极大平面图。性质1 G是连通的。 性质2 G不存在割边。 性质3 G的每个域的边界数都是3。,极大平面图,定理 4.2.1 极大平面图G中有m=3n-6, d=2n-4。 证明：由极大平面图性质4，3d=2m。代入欧拉公式d=m-n+2（性质1）。推论 4.2.1 简单平面图满足m=3n
4、-6, d=2n-4。,极大平面图,例 4.2.1 若简单平面图G有6个节点12条边，则每个域的边界数都是3。例 4.2.2若简单平面图不含K3子图，则有m=2n-4。,极大平面图,定理 4.2.2 简单平面图G中存在度数小于6的结点。 例 4.2.3 节点数不超过11的简单平面图G一定存在度数小于5的节点。例 4.2.4 K7图不是平面图。,4.3 非平面图,如果图G不能嵌入平面，满足任意两边只能在结点处相交，那么G就称为非平面图这样，按平面性质进行划分，图G分为两大类：可平面图和非平面图。,非平面图,定理 4.3.1是非平面图。证明：在 中，n=5，m=10。如果它是可平面图，应该有m3n
5、-6。而此时3n-6=9，矛盾。 定理 4.3.2是非平面图。证明：假定 是可平面图，由于n= 6，m=9。由欧拉公式，d=5。但G中没有 子图，因此4d2m，亦即2018，矛盾。,非平面图,约定 和 分别记为 和 图。 定义 4.3.1在 和 图上任意任意增加一些度为2的结点之后得到的图象为 型和 型图，统称为 型图。 定理 4.3.3是可平面图的充要条件是 不存在 型图。,4.5 对偶图,定义 4.5.1满足如下条件的图G*称为G的对偶图。 G中每个确定的域 内设置一个结点 。 对域 和 的共同边界 ，有一条边 并与 相交一次。 若 处于域 之内，则 有一自环 与 相交一次。,对偶图,性质
6、 4.5.1如果G是平面图，G一定有对偶图G*，而且G*是唯一的。 由D过程即可得证。 性质 4.5.2G*是连通图。在平面G里，每个域f都存在相邻的域，而且对G的任何部分域来说，都存在与它们之中某个域相邻的域。这样由对偶图的定义可知G *连通。,对偶图,性质4.5.3若G是平面连通图，那么 性质4.5.4平面连通图G与其对偶图G*的结点，边和域之间存在如下的对应关系：m = m*，n = d*，d = n*。,对偶图,性质 4.5.5若G是平面连通图的一个初级回路，S*是G*中与C的各边 对应的 的集合，那么S*是G*的一个割集。证明：把的域分成两部分，因此 把G*的结点分成不连通的两部分，由性质4.5.2，G*两部分是分别连通的，因此那么S*是G*的一个割集。,对偶图,定理 4.5.1G有对偶图的充要条件是G为平面图。定理 4.5.2每一个平面图G都是5-可着色的。,Thank You,
