1、12018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（北京卷）本试卷共 5页，150 分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40分）一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A=x|x| f（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（ x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_（14）已知椭圆21()yMab：，双曲线21yNmn：若双曲线 N的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M
2、的离心率为_；双曲线 N的离心率为_三、解答题共 6小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13分）在 ABC中， a=7， b=8，cos B=17（）求 A；（）求 AC边上的高（16） （本小题 14分）如图，在三棱柱 ABC- 1ABC中， 1平面 ABC， D， E， F， G分别为 1A， AC， 1C， 1B的中点，AB=BC= 5， AC= =2（）求证： AC平面 BEF；（）求二面角 B-CD-C1的余弦值；4（）证明：直线 FG与平面 BCD相交（17） （本小题 12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型
3、 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取 1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，估计恰有 1部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ 1k”表示第 k类电影得到人们喜欢， “ 0k”表示第 k类电影没有得到人们喜欢（ k=1，2，3，4，5，6） 写出方
4、差 1D， 2， 3， 4D， 5， 6的大小关系（18） （本小题13分）设函数 ()fx=2(41)3axaex（）若曲线 y= f（ x）在点（1， ()f）处的切线与 x轴平行，求 a；（）若 ()f在 x=2处取得极小值，求 a的取值范围 （19） （本小题 14分）已知抛物线 C：2y=2px经过点 P（1，2） 过点 Q（0，1 ）的直线 l与抛物线 C有两个不同的交点A， B，且直线 PA交 y轴于 M，直线 PB交 y轴于 N（）求直线 l的斜率的取值范围；（）设 O为原点， QO， Q，求证：1为定值5（20） （本小题14分）设 n为正整数，集合 A= 12|(,),0,
5、1,2nttkn 对于集合 A中的任意元素12(,)nx和 1(,y ，记M（ ， ）= 122|)(|)(|)nnxxyxy（）当 n=3时，若 (,0， ,1)，求 M（ ,）和 M（ ,）的值；（）当 n=4时，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意元素 ,，当 ,相同时，M（ ， ）是奇数；当 ,不同时， M（ ， ）是偶数求集合 B中元素个数的最大值；（）给定不小于 2的 n，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意两个不同的元素 ,，M（ ， ）=0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由6参考答案一、选择题1A 2D 3B 4D 5C 6C 7C 8D二、填空题9
6、 63na10 1211 2312313 y=sinx（不答案不唯一） 14 1；三、解答题（15） （共 13分）解：（）在 ABC中，cos B=17， B（2，），sin B=2431cos7由正弦定理得 siniabAsinA=843，sin A=3 B（2， ）， A（0，2）， A=（）在 ABC中，sin C=sin（ A+B）=sin AcosB+sinBcosA=3143()27= 1如图所示，在 ABC中，sin C=h， h= sinC=714， AC边上的高为32（16） （共 14分）解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1中， CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1
7、为矩形又 E， F分别为 AC， A1C1的中点， AC EF7 AB=BC AC BE， AC平面 BEF（）由（I）知 AC EF， AC BE， EF CC1又 CC1平面 ABC， EF平面 ABC BE平面 ABC， EF BE如图建立空间直角坐称系 E-xyz由题意得 B（0，2，0） ， C（-1，0，0） ， D（1，0，1） ， F（0，0，2） ， G（0，2，1） =(1)()CDurur， ， ， ， ，设平面 BCD的法向量为 abc， ，n， 0CBrun， 20，令 a=2，则 b=-1， c=-4，平面 BCD的法向量 (214)， ，n，又平面 CDC1的法向
8、量为 =0EBur， ， 21cos|EBurrn由图可得二面角 B-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为 21（）平面 BCD的法向量为 (214)， ，n， G（0，2，1） ， F（0，0，2） ， =(021)GFur， ， GFur， 与 Fur不垂直， GF与平面 BCD不平行且不在平面 BCD内， GF与平面 BCD相交（17） （共 12分）8解：（）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50故所求概率为 50.2（）设事件 A为“从第四类电影中随机选出的电影获
9、得好评” ，事件 B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” 故所求概率为 P（ B）= P（ A）+ P（ B）=P（ A） （1 P（ B） ）+（1 P（ A） ） P（ B） 由题意知： P（ A）估计为 0.25， P（ B）估计为 0.2故所求概率估计为 0.250.8+0.750.2=0.35（） 1D 4 2= 5 3D 6（18） （共 13分）解：（）因为 ()fx=2(41)axaex，所以 f （ x）=2 ax（4 a+1）e x+ ax2（4 a+1） x+4a+3e x（ x R）= ax2（2 a+1） x+2e xf (1)=(1 a)e由题设知 f (1)
10、=0，即(1 a)e=0，解得 a=1此时 f (1)=3e0所以 a的值为 1（）由（）得 f （ x）= ax2（2 a+1） x+2e x=（ ax1）( x2)ex若 a 2，则当 x( a，2)时， f ( x)0所以 f (x)0所以 2不是 f (x)的极小值点综上可知， a的取值范围是（ 12，+）（19） （共 14分）解：（）因为抛物线 y2=2px经过点 P（1，2） ，9所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l的斜率存在且不为 0，设直线 l的方程为 y=kx+1（ k0） 由241yxk得 2(4)10x依题意 22()k，解得
11、k0或 0k1又 PA， PB与 y轴相交，故直线 l不过点（1，-2） 从而 k-3所以直线 l斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1） （）设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） 由（I）知 24k， 1k直线 PA的方程为 y2= 1()yx令 x=0，得点 M的纵坐标为 122M同理得点 N的纵坐标为 21Nkxy由 =QOur， Qur得 =M， Ny所以 21212241()1 1=()()MN kxxykxkk所以 为定值 （20） （共 14分）解：（）因为 =（1，1，0）， =（0，1，1），所以M( ， )= 2 (1+1|11|)+(1+1|11|
12、)+(0+0|00|)=2，M( ， ）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）设 =（ x1， x 2， x3， x4） B，则 M( ， ）= x1+x2+x3+x4由题意知 x1， x 2， x3， x40，1，且 M( ， )为奇数，所以 x1， x 2， x3， x4中 1的个数为 1或 3所以 B(1， 0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).10将上述集合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，
13、(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素 ， ，均有 M( ， ）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B的元素所以集合 B中元素的个数不超过 4.又集合（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)满足条件，所以集合 B中元素个数的最大值为 4.（）设 Sk=( x1， x 2， xn）|( x1， x 2， xn） A， xk =1， x1=x2=xk1=0）（ k=1，2， n)，Sn+1=( x1， x 2， xn）| x1=x2=xn=0，则 A=S1 S1 Sn+1对于 Sk（ k=1，2， n1）中的不同元素 ， ，经验证， M( ， )1.所以 Sk（ k=1，2 ， n1）中的两个元素不可能同时是集合 B的元素所以 B中元素的个数不超过 n+1.取 ek=( x1， x 2， xn） Sk且 xk+1=xn=0（ k=1，2， n1）.令 B=（e 1，e 2，e n1） Sn Sn+1，则集合 B的元素个数为 n+1，且满足条件.故 B是一个满足条件且元素个数最多的集合
