1、设一个树中度为k的结点数是nk 2 k 求它的叶的数目 解 设n个结点的树有t个叶 由已知n t ni2 n 1 t ini消去式中的n 2 t 2 i ni即 t i 2 ni 2 i 2 i 2 i 2 i 3 习题十一1 设e是连通图 的一条边 证明 e是割边当且仅当e含于G的每个生成树中 证明 如果割边e不在G的某个生成树中 则G e仍有生成树 即仍连通 与割边的定义相矛盾 如果e是每个生成树的公共边 则去掉e后G e不再连通 即e为G的割边 习题十一10 树T中最长道路的起点和终点必都是T的叶 证明 设u到v的道路是树中最长道路 如果u或v不是叶 由道路唯一性 必有u或v的邻接结点不
2、在该道路上 因此这条道路可延长至w 与最长条件矛盾 习题十一2 用Kruskal算法求图的一个最小生成树 解 边按序排列 ab gc eg ed af fd fe dc fb bd ag bc按算法构造生成树边集为 ab gc eg ed af fd W T 8 a g f e d c b 1 3 2 1 3 2 1 1 4 4 6 5 习题十一12 用Kruskal定理证明Peterson图不是平面图 证明 下面是Peterson图的一个子图 它与k3 3的细分图同构 所以Peterson图不是平面图 设G是阶数不小于11的图 证明 G或G中至少有一个是非平面图 证明 假设G和G都是平面图
3、可得n n 1 2 6n 12 所以n2 13n 24 0可得n 10 与已知矛盾 所以原题得证 习题十二3 证明 少于30条边的简单平面图至少有一个顶点的度不大于4 证明 假设 5 可得5n 2m由平面性 2m 6n 12再将n 12代入5n 2m 得m 30 与已知矛盾 所以原题得证 n 12 习题十二5 若一平面图与其对偶图同构 则称这个平面图为自对偶图 推导自对偶图必须满足的结点数n与边数m的关系 并找出一个自对偶图 解 如果G是自对偶图 在欧拉公式中必有n f 于是m 2 n 1 习题十二9 设G V E 是一个具有2k k 0 个奇数度结点的连通图 证明 G中必存在k条边不相重的简
4、单道路P1 P2 Pk 使得E E P1 E P2 E Pk 证明 把2k个奇数度结点分成两两一组的k组 然后每组结点新加一条边 所得图为欧拉图 故存在欧拉回路 再去掉欧拉回路中的k条新加入的边 得到k条互无重复边的道路P1 P2 Pk 即为所求 习题十三2 v9 v6 v3 v1 求图中 中国邮递员问题的解 解 图中有4个奇数度结点v1 v6 v9 v3 求两两之间最短长度 Pv1v6 3 v1v6 Pv1v9 7 v1v2v3v4v9 Pv1v3 4 v1v2v3 Pv6v9 7 v6v7v8v9 Pv3v6 6 v3v8v7v6 Pv3v9 3 v3v4v9 Pv1v6和Pv3v9满足最
5、小性要求 复制v1v6和v3v4v9的边 图中欧拉回路即为所求解 v2 v4 v5 v7 v8 v10 2 2 1 1 1 1 3 3 v11 3 4 4 1 5 5 6 2 习题十三5 证明 连通图G是平面欧拉图当且仅当其对偶图是平面二部图 证明 当G是平面欧拉图时 G的点度是偶数 对应G 的面度应是偶数 说明G 的回路都是偶长回路 从而G 是二部图 当G 是平面二部图时 它的面度都是偶数 因而G的各点度均为偶数 故G是平面欧拉图 n个人定期围圆桌而坐 商讨事务 他们希望每人每次两旁的人都和以前的不同 这样的安排最多有多少种 解 将人看作图的结点 邻座关系作为图的边 每次安排方式对应一个Ha
6、milton回路 因为每人每次两旁的人都和以前不同 所以每2种安排方式对应2个无公共边的Hamilton回路 因每个人都可与其余人邻座 所以本问题转化为在Kn中找出所有无公共边的Hamilton回路的个数 Kn共有n n 1 2条边 每条Hamilton回路的长度为n 因此Kn中最多有 n 1 2条无公共边的Hamilton回路 因此 最多有 n 1 2种安排 例如n 7时 共有3种就座方式 分别是 123456711357246114736251 用2种以上办法判别下图不是Hamilton图 解 用必要条件 选7个结点 去掉后剩9支 注意观察 发现是平面二部图 因为所有回路都是偶长 那就可对结点进行二部划分 一部是7个 另一部是9个结点 但二部图要成为Hamilton图必须2部结点数相同 2 f4 1 f4 2 4 f6 1 f6 2 0f4 1 f4 2 12f6 1 f6 2 1无合理解 习题十三15
