1、第三节初等函数 一 指数函数 二 对数函数 三 乘幂ab与幂函数 四 三角函数和双曲函数 五 反三角函数和反双曲函数 六 小结与思考 2 一 指数函数 1 指数函数的定义 3 指数函数的定义等价于关系式 2 加法定理 4 例1 解 5 6 例2 解 求出下列复数的辐角主值 7 8 例3 解 9 二 对数函数 1 定义 10 其余各值为 特殊地 11 例4 解 注意 在实变函数中 负数无对数 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广 12 例5 解 13 例6 解 14 15 2 性质 16 三 乘幂与幂函数 1 乘幂的定义 注意 17 18 特殊情况 19 20 例7 解 答案 练习 21 例8
2、 解 22 2 幂函数的解析性 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的 23 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的 24 四 三角函数和双曲函数 1 三角函数的定义 将两式相加与相减 得 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况 25 26 例9 解 27 有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数 28 注意 这是与实变函数完全不同的 29 其他复变数三角函数的定义 30 2 双曲函数的定义 31 它们的导数分别为 并有如下公式 它们都是以为周期的周期函数 32 五 反三角函数和反双曲函数 1 反三角函数的定义 两端取对数得 33 同样可以定义反正弦函数和反正切函数 重复以上步骤 可以得到它们的表达式 2 反双曲函数的定义 34 六 小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广 它既保持了后者的某些基本性质 又有一些与后者不同的特性 如 1 指数函数具有周期性 2 负数无对数的结论不再成立 3 三角正弦与余弦不再具有有界性 4 双曲正弦与余弦都是周期函数
