1、圆锥曲线简介圆锥曲线圆锥曲线（英语：conic section ），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。圆锥曲线在约公元前 200 年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率e）的点的集合是圆锥曲线。对于 0 1 得到双曲线。圆锥曲线的类型圆锥曲线 方程离心率（ e）半焦距（
2、 c）半正焦弦（）焦点准线距离（ p）圆椭圆抛物线双曲线圆锥曲线的类型：1.抛物线 2.圆和椭圆 3.双曲线椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。抛物线：截面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。几何性质椭圆（Ellipse)椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。抛物线（Parabola)抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。双曲
3、线（Hyperbola)双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。离心率有固定焦点 F 和准线的椭圆 ( e=1/2)、抛物线 ( e=1)和双曲线 ( e=2)。对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是 ，这里的 是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是 。在圆的情况下，e = 0 且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到 L的距离的 e 倍的所有点组成是没有意义的。圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。对于一个给定的 , 越接近于 1，半短轴就越小。笛卡尔坐标在笛卡尔坐标系内，二元
4、二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式有着参数 ， 和 不得皆等于。 如果 ，方程表示椭圆（除非圆锥曲线退化了，例如）； 如果 且 且 ,方程表示圆； 如果 ，方程表示抛物线； 如果 ，方程表示双曲线； 如果还有 ，方程表示直角双曲线。注意这里的 和 就是多项式系数，不是前面定义的半长/短轴的长度。通过坐标变换这些方程可以变为标准形式：圆 椭圆 抛物线 双曲线标准方程参数方程 或极坐标编辑椭圆的半正焦弦圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum ）通常指示为 l，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线
5、度量的距离。它有关于半长轴 a，和半短轴 b，通过公式 或 。在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正 x轴上，给出自方程，或者，如上，对于 e = 0 得到一个圆，对于 0 1 得到双曲线。齐次坐标编辑在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：或表示为矩阵：矩阵 叫做“圆锥曲线矩阵”。叫做圆锥曲线的行列式。如果 = 0 则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。例如，圆锥曲线 退化为两相交直线：。类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）: 。被称为圆锥曲线的判别式。如果 = 0 则圆锥曲线是抛物线
6、，如果 0 则是椭圆。如果 0 且 A1 = A2，圆锥曲线是圆；如果 1 的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是 (1,i,0)和（1,-i,0），则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线不是椭圆不是双曲线。
