1、因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。因子分析的内容十分丰富，这里仅介绍因子分析常用一种类型：R 型因子分析（对变量做因子分析）。基本思想：因子分析的基本思想是通过变量（或样品）的相关系数矩阵（对样品是相似系数矩阵）内部结构的研究，找出能控制所有变量（或样品）的少数几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相关（相似）关系，但在这里，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。然后根据相关性（或相似性）的大小把变量
2、（或样品）分组，使得同组内的变量（或样品）之间相关性（或相似性）较高，但不同组的变量相关性（或相似性）较低。R 型因子分析数学模型：用矩阵表示： =简记为 且满足：即 和 是不相关的；Digg排行 1主成分分析 1动态分析法 0判别分析 0聚类分析 0因子分析 0密切值法综述 0综合评价分析 0相关分析法 0因素分析法 0平衡分析法热门即 不相关且方差皆为 1。即 不 相 关 ， 且 方 差 不 同 。其 中 是 可 实 测 的 个 指 标 所 构 成 维 随 机 向 量 ，是 不 可 观 测 的 向 量 ， 称 为 的 公 共 因 子 或 潜 因 子 。 称 为因 子 载 荷 是 第 个 变
3、 量 在 第 个 公 共 因 子 上 的 负 荷 。 矩 阵 称 为 因 子 载 荷 矩 阵； 称 为 的 特 殊 因 子 ， 通 常 理 论 上 要 求 的 斜 方 差 阵 是 对 角 阵 ， 中 包 括 了随 机 误 差 。因 子 分 析 和 主 成 分 分 析 的 区 别 :主 成 分 分 析 的 数 学 模 型 实 质 上 是 一 种 变 换， 而 因 子 分 析 模 型 是 描 述 原 指 标 斜 方 差 阵 结 构 的 一 种 模 型 。 另 外 ， 在 主 成分 分 析 中 每 个 主 成 分 相 应 的 系 数 是 唯 一 确 定 的 。 与 此 相 反 ， 在 因 子 分 析
4、 中每 个 因 子 的 相 应 系 数 不 是 唯 一 的 ， 即 因 子 载 荷 不 是 唯 一 的 。因子模型中公共因子，因子载荷和变量共同度的统计意义：假 定 因 子 模 型 中 ， 各 个 变 量 以 及 公 共 因 子 、 特 殊 因 子 都 已 经 是 标 准 化 （ 均值 为 0， 方 差 为 1） 的 变 量 。（ 1） 因 子 载 荷 的 统 计 意 义 ： 因 子 载 荷 的 统 计 意 义 就 是 第 个 变 量 与 第个 公 共 因 子 的 相 关 系 数 即 表 示 依 附 于 的 分 量 （ 比 重 ） 。 它 反 映 第 个 变量 在 第 个 公 共 因 子 上
5、的 相 对 重 要 性 。评论（ 2） 变 量 共 同 度 的 统 计 意 义 ： 变 量 的 共 同 度 定 义 为 因 子 载 荷 阵 中 第行 元 素 的 平 方 和 ， 即 ， 为 了 说 明 它 的 统 计 意 义 ， 将 下 式两 边 求 方 差 ， 即由 于 已 经 标 准 化 了 ， 所 以 有 此 式 说 明 变 量 的 方 差 由 两 部 分 组 成 ： 第 一 部 分 为 共 同 度 ， 它 刻 划 全部 公 共 因 子 对 变 量 的 总 方 差 所 作 的 贡 献 ， 越 接 近 1， 说 明 该 变 量 的 几 乎全 部 原 始 信 息 都 被 所 选 取 的 公
6、共 因 子 说 明 了 。（ 3） 公 因 子 的 方 差 贡 献 的 统 计 意 义将 因 子 载 荷 矩 阵 中 各 列 元 素 的 平 方 和 记 为 ： 称 为 公 共 因 子 对 的 贡 献 ， 即 表 示 同 一 公 共 因 子 对 诸 变 量 所提 供 的 方 差 贡 献 之 总和，它是衡量公共因子相对重要性指标。因子分析的计算步骤：第 一 步 :将 原 始 数 据 标 准 化 ， 为 书 写 方 便 仍 记 为 。第 二 步 ： 建 立 变 量 的 相 关 系 数 阵 其 中 第 三 步 ： 求 R 的 特 征 根 及 相 应 的 单 位 特 征 向 量 ， 分 别 记 为 和
7、根 据 累 计 贡 献 率 的 要 求 比 如 ， 取 前 个 特 征 根 及 相 应的 特 征 向 量 写 出 因 子 载 荷 阵 ：第 四 步 ： 对 A 施 行 方 差 最 大 正 交 旋 转 。 建 立 因 子 分 析 数 学 模 型 的 目 的 不 仅要 找 出 公 共 因 子 以 及 对 变 量 进 行 分 组 ， 更 重 要 的 是 要 知 道 每 个 公 共 因 子 的意 义， 以 便 对 实 际 问 题 做 出 科 学 的 分 析 ， 如 果 每 个 公 共 因 子 的 含 义 不 清 ， 不 便 于 进行 实 际 背 景 的 解 释 ， 这 时 根 据 因 子 载 荷 阵
8、的 不 唯 一 性 ， 可 对 因 子 载 荷 阵 实 行 旋转 即 用 一 个 正 交 阵 右 乘 A（ 由 线 性 代 数 知 道 一 个 正 交 变 换 ， 对 应 坐 标 系 的 一 次旋 转 ） 使 旋 转 后 的 因 子 载 荷 阵 结 构 简 化 ， 便 于 对 公 共 因 子 进 行 解 释 。 所 谓 结 构简 化 就 是 使 每 个 变 量 仅 在 一 个 公 共 因 子 上 有 较 大 的 载 荷 ， 而 在 其 余 公 共 因 子 上的 载 荷 比 较 小 ， 至 多 是 中 等 大 小 。 这 种 变 换 因 子 载 荷 阵 的 方 法 称 为 因 子 轴 的 旋转
9、， 而 旋 转 的 方 法 有 多 种 ， 如 正 交 旋 转 ， 斜 交 旋 转 等 。第 五 步 ： 计 算 因 子 得 分 。 因 子 分 析 的 数 学 模 型 是 将 变 量 （ 或 样 品 ） 表 示 为公 共 因 子 的 线 性 组 合 ， 由 于 公 共 因 子 能 反 映 原 始 变 量 的 相 关 关 系 ， 用 公 共因 子代 表 原 始 变 量 时 ， 有 时 更 有 利 于 描 述 研 究 对 象 的 特 征 ， 因 而 往 往 需 要 反 过 来 将公 共 因 子 表 示 为 变 量 （ 或 样 品 ） 的 线 性 组 合 ， 即 称 上 式 为 因 子 得 分 函 数 。 用 它 来 计 算 每 个 样 品 的 公 共 因 子 得 分 。 这样 就 可 以 在 二 维 平 面 上 作 出 因 子 得 分 的 散 点 图 ， 进 而 对 样 品 进 行 分 类 或 作 为 下一 步 分 析 原 始 数 据 时 对 问 题 作 作 更 深 入 的 研 究 。
