1、 3 2中值定理 1 局部极值点的必要条件 问题 局部极值点 有 则称f x 在x0处有极小值 或极大值 说明 1 几何解释 是极大值点 是极小值点 定理 费马定理 证明 不妨设x0是极小值点 使 则根据定义 存在N x0 说明 2 我们把使的点x0称为驻点 稳定点 3 驻点未必是极值点 反例 处 不可微点也可能是极值点 反例 处 4 临界点 驻点和不可微点统称为临界点 定理 局部极值点的必要条件 注意 临界点不一定是极值点 20中值定理 定理 罗尔定理 证明 因为f x C a b 1 若m M 则f x C 可任取 有 不妨设 据最值定理知 存在 说明 1 几何意义 2 罗尔定理中的三个条
2、件 一般不可松动 反例 3 定理指出了导函数的零点问题 例 设满足 解 分析 构造一函数F x 使 此时F x C R 而且F 0 F 1 而且F 0 F 1 根据罗尔定理 存在 使 即 设 证明 设x1 x2是f x 的两个零点 且x1 x2 构造辅助函数 此时有 而且 F x 在 x1 x2 上连续 x1 x2 上可导 根据罗尔定理 存在 即 罗尔定理的几何意义也 一条切线平行于AB弦 可以解释为 至少存在 问题 左图显示此结论是正确的 定理 拉格朗日中值定理 AB弦的斜率 即 证明 构造辅助函数 则F x 在 a b 上连续 a b 内可导 而且 根据罗尔定理 存在 即 说明 1 2 即
3、有 解 任取 则在 x x x 上满足拉格朗日中值定理的条件 说明 一般地 或 与a b有关 拉格朗日中值公式的应用 解 在 a b 上利用拉格朗日中值定理 有 解 当a 0时 不等式显然成立 下设a 0 此时 f a b f a f b f a b f b f a 分别使 即f a b f a f b 存在 解 希望在上利用零值定理 由f a 0 故先证 存在 在上利用零值定理知 上至少有一实根 对任意 利用拉格朗日中值定理 存在有 所以 f x 在 a 上严格单调增 方程f x 0在 定理 证明 对任意 又当时 两边取极限 得 存在使 C A g a f a B g b f b 如果设A B点的坐标为 即应有 定理 cauchy中值定理 证明 因为 构造辅助函数 则F x 在 a b 上连续 a b 内可导 而且有 注意 在定理的条件下 例 解 上式等价于 设 则由a 0知 f x g x 满足柯 西中值定理的条件 即 存在 a b 使 例 解 原式 故取 由x1x2 0 可知F x G x 在 x1 x2 上满足柯西中值定理条件 存在 x1 x2 使 应用柯西中值定理 结论成立
