1、小行星的轨道方程特征值问题及应用离散数据的多项式拟合 第四章线性代数 例4 2小行星轨道方程 以太阳为坐标原点 测得小行星坐标 a1x12 2a2x1y1 a3y12 2a4x1 2a5y1 1a1x22 2a2x2y2 a3y22 2a4x2 2a5y2 1a1x32 2a2x3y3 a3y32 2a4x3 2a5y3 1a1x42 2a2x4y4 a3y42 2a4x4 2a5y4 1a1x52 2a2x5y5 a3y52 2a4x5 2a5y5 1 椭圆二次曲线方程 a1x2 2a2xy a3y2 2a4x 2a5y 1 0 Az b MATLAB求解方程组方法 A b 创建方程组系数矩
2、阵方法 A X 2 2 X Y Y 2 X Y X 4 5596 5 0816 5 5546 5 9636 6 2756 Y 0 8145 1 3685 1 9895 2 6925 3 5265 A X X 2 X Y Y Y 2 X 2 Y E 1 1 1 1 1 z A E a1 z 1 a2 z 2 a3 z 3 a4 z 4 a5 z 5 symsxyF a1 x 2 2 a2 x y a3 y 2 2 a4 x 2 a5 y 1 ezplot F 1 6 5 1 5 6 holdon plot X Y ro 程序文件mlab42 m a1x2 2a2xy a3y2 2a4x 2a5y
3、 1 0 或XTAX 2XTb 1 0 平移变换 X X0 Z 其中X0 椭圆中心 待定 X0 Z TA X0 Z 2 X0 Z Tb 1 0 ZTAZ 2ZT AX0 b X0TAX0 2X0Tb 1 0 F X0TAX0 2X0Tb 1 0 消去方程中一次项 令 二次方程化简 ZTAZ F 0 AX0 b 0 设 1 2是A的特征值 对应特征向量为 令 令 其中 变量t的离散数据 轨道数据 原坐标下的轨道离散数据 MATLAB解算特征值问题方法lamda eig A 计算A的特征值 这里lamda是A的全部特征值构成的列向量 P D eig A 计算出A的全部特征值和对应的特征向量 其中
4、D是对角矩阵 保存矩阵A的全部特征值 P是满阵 P的列向量构成对应于D的特征向量组 矩阵特征值问题 A是n阶方阵 求非零向量和数使得 称为特征向量 称为特征值 x 4 55965 08165 55465 96366 2756 y 0 81451 36851 98952 69253 5265 D x 22 x yy 22 x2 y E 1 1 1 1 1 e D E A e 1 e 2 e 2 e 3 b e 4 e 5 X0 A b F X0 A X0 2 X0 b 1 Ud eig A a sqrt F d 1 1 b sqrt F d 2 2 t linspace 0 2 pi 2000
5、u a cos t v b sin t X U u v X0 ones 1 2000 xt X 1 yt X 2 plot xt yt x y b 0 0 ro holdoncomet xt yt 例4 5出租汽车问题 出租汽车公司在仅有A城和B城的海岛上 设了A B两营业部 如果周一A城有120辆可出租汽车 而B城有150辆 统计数据表明 平均每天A城营业部汽车的10 被顾客租用开到B城 B城营业部汽车的12 被开到了A城 假设所有汽车正常 试计算一周后两城的汽车数量 寻找方案使每天汽车正常流动而A城和B城的汽车数量不增不减 设第n天A城营业部汽车数为x1 n B城营业部汽车数为x2 n 则
6、有 营业部汽车总数量 120 150 270 X 120 150 A 0 9 0 12 0 1 0 88 Cars X fork 1 6X A X Cars Cars X endCarsfigure 1 bar Cars 1 figure 2 bar Cars 2 120 126 130 68134 33137 17139 39141 13150 144 139 32135 66132 82130 60128 86 营业部汽车总数量 120 150 270 矩阵 特征值 特征向量 X 147 123 A 0 9 0 12 0 1 0 88 Cars X fork 1 6X A X Cars C
7、ars X endfigure 1 bar Cars 1 figure 2 bar Cars 2 147 123 离散数据的多项式拟合方法 求n次多项式 n m P x a1xn a2xn 1 anx an 1 使得 MATLAB求解多项式拟合方法如下 P polyfit x y n 输出变量P是一个具有 n 1 个数的一维数组 表示拟合多项式P x 的系数 多项式降幂排列 汽车紧急刹车问题数据拟合实验 V表示刹车时汽车行驶速度 英里 小时 T表示刹车后汽车滑行距离 英尺 v 2025303540455055606570 1 609 T 202841537293118149182221266
8、3048 figure 1 plot v T P2 polyfit v T 2 T2 polyval P2 v R2 sum T T2 2 figure 2 plot v T v T2 R2 1 9634 V 20 40 60 80 100 120 formatbankT polyval P2 V figure 3 bar V T V T T 6 078 5018 4435 8860 8293 27 表汽车行驶速度与刹车滑行距离 思考题与练习题 1 行星轨道的二次曲线方程中 二次项系数满足什么条件时 能保证二次曲线方程是椭圆方程 2 设非零正数p 1 q 1 证明矩阵 有特征值 对应的特征向量
