1、课题 圆的方程 重点 考点复习课 圆的方程 标准方程 一般方程 参数方程 直径方程 以A x1 y1 B x2 y2 为直径 点与圆的位置关系 点在圆上 点在圆内 点在圆外 直线与圆的位置关系有三种 相离 相切 相交 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 直线与圆的位置关系 1 代数法 利用判别式 b2 4ac 2 几何法 利用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系 直线与圆的位置关系 圆的切线方程 若圆的方程为x2 y2 r2 点P x0 y0 在圆上 则过P点且与圆x2 y2 r2相切的切线方程为 x0 x y0y r2 圆的切线长度 点到圆心的距离 切线长度和半径构成的
2、直角三角形 若P x0 y0 为圆x2 y2 r2外一点 PM1 PM2分别切圆于M1 M2 则直线M1M2的方程为 x0 x y0y r2 圆的切点弦方程 x y o P M1 M2 直线与圆相交的弦长计算 r 1 几何法 解由弦心距 半弦及半径构成的直角三角形 2 代数法 运用弦长公式 其中k为直线的斜率 x1 x2为直线与圆的两个交点的横坐标 直线与圆相离 圆与直线相离 常利用圆心到直线的距离d去确定圆上的点到直线距离的最大值 d r 最小值 d r l o 特殊的圆 圆过原点 圆与x轴相切 圆与y轴相切 x2 y2 Dx Ey 0 x a 2 y b 2 b 2 x a 2 y b 2
3、 a 2 x a 2 y b 2 r2 a2 b2 r2 r b r a 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系可分为五种 相离 外切 相交 内切 内含 两圆的公切线条数也可分为五种 并掌握圆的公切线长度的求法 设两圆圆心分别为O1 O2 半径为r1 r2 r1 r2 则 判断圆与圆的位置关系 常用几何法 两圆公共弦方程 公共弦方程 x y o 圆系方程 过两圆的交点的圆的方程 过直线与圆的交点的圆的方程 圆系方程 典型例题解析 例1 求下列圆的方程 与y轴相切 被直线y x截得的弦长为 圆心在x 3y 0上 经过P 2 4 Q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 圆心在x y 4 0上
4、并且经过两圆C1 x2 y2 4x 3 0和C2 x2 y2 4y 3 0的交点 过A 2 2 B 5 3 C 3 1 的圆 与x轴相切于点A 3 0 并且在y轴上截得的弦长为6 过直线3x 4y 7 0和圆 x 2 2 y 1 2 4的交点且过点 1 2 的圆的方程 解 圆心在x 3y 0上 设所求圆的圆心O 3a a 圆O 到直线y x的距离 设C为弦中点Rt O BC中 a 1 圆心O 3 1 或O 3 1 r 3 所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 设圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 圆心半径 由题意 即D2 4F 36 1 又 P 2 4
5、 Q 3 1 在圆上 2D 4E F 0 2 3D E F 10 3 由 2 3 联立得D 2D 6E 4或E 8F 8F 0 所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0或x2 y2 6x 8y 0 设所求圆的方程为x2 y2 4x 3 x2 y2 4x 3 0 1 x2 1 y2 4x 4 y 3 1 0 1 圆心 圆心在直线x y 4 0上 代入 式得所求圆的方程为x2 y2 6x 2y 3 0 设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0由已知4 4 2D 2E F 0D 625 9 5D 3E F 0 E 29 1 3D E F 0F 3 所求圆的方程为x2 y2 6x 2y 3
6、0 设圆心 3 b 则圆的方程为 x 3 2 y b 2 b2由b2 32 32 18 设所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 4 3x 4y 7 0将 1 2 代入得 所求圆的方程为 例2 过圆O x2 y2 13外一点P 4 7 作 O的切线PA PB A B是切点 求 1 PA PB的方程 AB的方程 解 设所求切线的方程为y 7 k x 4 则或k 18 所求切线的方程为2x 3y 13 0或18x y 65 0 OP的中点M为 以M为圆心 为半径的圆它与 O的公共弦 即AB的方程为4x 7y 13 0 例3 若圆x2 y2 x 6y c 0与直线x 2y 3 0的两交点为P Q 满
7、足OP OQ O为原点 求c值 解 设P x1 y1 Q x2 y2 OP OQ y1y2 x1x2 0 由x2 y2 x 6y c 0得5y2 20y 12 c 0 x 2y 3 0 y1 y2 4代入 式得 c 3代入 得y2 4y 3 0 16 12 0 c 3 直线3x 4y m 0与圆x2 y2 5y 0交于两点A B 且OA OB O为原点 求m 若圆x2 y2 x 6y C 0与直线x 2y 3 0的两个交点分别为P Q O为原点 满足OP OQ 求C的值 练习 例5 求两圆x2 y2 2x 6y 9 0 x2 y2 6x 2y 1 0的外公切线及内公切线方程 解 设外公切线的交
8、点为P x0 y0 P分c1c2得比为 圆x2 y2 2x 6y 9 0的圆心c1 1 3 圆x2 y2 6x 2y 1 0的圆心c2 3 1 半径分别为r1 1 r2 3 P 3 4 设外公切线的方程为y 4 k x 3 即kx y 3k 4 0 外公切线的方程为y 4 0或4x 3y 0 设内公切线的交点M x0 y0 则 设内公切线方程为即2kx 2y 5 0 内公切线方程为3x 4y 10 0或x 0 求 O x2 y2 1和 C x2 y2 6x 5 0的公切线方程 内公切线 x 1 外公切线 x y 3 0 例4 若实数对 x y 满足方程 x 3 2 y 2 2 2求 的最小值
9、的最小值 2x y的范围 A 1 0 B 1 0 求P x y 使 AP 2 BP 2取最小值 求P x y 到直线x y 1 0的最大值与最小值 解 设即y kx由得即最小值为 设即y 2 k x 1 即kx y k 2 0由得k2 8k 7 0 1 k 7 kmin 1即 方法一 设2x y t即2x y t 0由得 方法二 令则 方法一 令 AP 2 BP 2的最小值为 方法二 AP 2 BP 2 2 x2 y2 2x2 y2 PO 2 PO 2 x2 y2的最小值为 AP 2 BP 2的最小值为 解 练习 例6 圆x2 y2 8内有一点P0 1 2 AB为过点P0的弦 当AB被点P0平
10、分时 写出直线AB方程 过P0的弦的中点轨迹方程 斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程 解 由已知 OP0 AB AB的方程为即 x 2y 5 0 B 方法一 设AB中点为P x y 即 当x 0时 P 0 2 也满足 式当x 1时 P 1 0 满足 式综上 所求轨迹方程为 方法二 OP AB P的轨迹是以 OP0 为直径的圆 圆心为OP0的中点半径为 所求P的轨迹为 设平行弦中点P x y 则KOP 2 1即x 2y 0当x 0时 P 0 0 也满足上式 平行弦中点轨迹为x 2y 0 在已知圆内部 已知圆 x2 y2 4x 6y 12 0内一点A 4 2 求以A点为中点的弦所在的直线方程 例题
11、 例7 已知直线y x m与曲线有两个不同的交点 求m的取值范围 解 表示圆 x 1 2 y2 1 y 0 在x轴上方部分 y x m表示斜率为 1的平行线 如图当直线与半圆相切时 当直线过A 1 1 m 0 析 已知两点A 0 1 B 2 m 如果经过点A与点B且与x轴相切的圆有且只有一个 求m的值及圆的方程 例题 点P在直线2x y 10 0上 PA PB与圆x2 y2 4分别相切于A B两点 求四边形PAOB面积的最小值 例题 已知圆满足 截y轴所得的弦长为2 被x轴分成的两段圆弧 其弧长的比为3 1 圆心到直线l x 2y 0的距为 求该圆的方程 例题 已知圆满足 截y轴所得的弦长为2
12、 被x轴分成的两段圆弧 其弧长的比为3 1 在满足条件 的所有圆中 求圆心到直线l x 2y 0的距离最小的圆的方程 例题 已知一点A 0 2 和圆C的方程为 x 6 2 y 4 2 36 5 一条光线从A点出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射 求这条光线从A点到切点所经过的路程 变 求这条光线所在直线的方程 例题 如图 已知定点A 2 0 点Q是圆x2 y2 1上的动点 AOQ的平分线交AQ于M 当Q点在圆上移动时 求动点M的轨迹方程 例题 已知直线l y k x 与圆O x2 y2 4相交于A B两点 O是坐标原点 三角形ABO的面积为S 1 试将S表示成k的函数S k 并求出它的定义域 2 求S的最大值 并求取得最大值时k的值 例题 已知点A在圆x2 y2 4上移动 过A作AB x轴于B点 以A为圆心 AB为半径作 A 设 A与 O交于C D两点 求CD与AB交点P的轨迹方程 例题
