1、特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的求法 第二节方阵的特征值与特征向量 成立 的特征向量 一 方阵的特征值与特征向量 定义 特征向量非零 注意 如对 及 则数 是方阵A特征值 是方阵A的对应于特征值2的特征向量 有 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组 3 二 特征方程与特征根 它有非零解的充分必要条件是其系数行列式 即 显然 A的特征值就是其特征方程的根 也称特征根 特征方程在复数范围内恒有解 其个数 为方程的次数 重根按重数计算 因此 n阶方阵A有n个特征值 注意 记 它是 称为A的特征方程 三 特征向量的性质 求方阵A的特征值和特征向量的步骤 它们就是A的全部
2、特征值 2 分别把A的每个特征值 代入方程组 得到 分别求出它们的基础解系 则所有向量 解 1 求特征值 由 2 求特征向量 对于 即 也即 所以对应的特征向量可取为 因此属于特征值3的全部特征向量为 对于 即 也即 所以对应的特征向量可取为 其中k取遍所有非零数 例求A的特征向量 解求特征值 求特征向量 对于 即 由于系数矩阵的秩为2 故基础解系只有一个 非零解 解得 其中k取遍所有非零数 解求特征值 所以A的特征值为 二重 求特征向量 得 解得基础解系 得 就是 解得基础解系 k取遍所有非零数 因此 属于 的全部特征向量就是 定理属于不同特征值的特征向量一定线性无关 证设矩阵A的特征值为
3、依次是与之对应的特征向量 下面证明 它们各不相同 线性无关 设有常数 使 四 有关特征值的结论 则 即 类推之 k 0 1 2 m 1 有 把上列各式合写成矩阵形式 得 上式左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式 各不相等时 该行列式不等于0 从而该 矩阵可逆 于是有 所以向量组 即 j 1 2 m 但 故 线性无关 是方阵A的特征值 故有向量 于是 为方阵A的特征值 的特征值 例设 其中 小结 相关结论 特征值与特征向量的求法 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的 一个特征值具有的特征向量不唯一 一个特征向量不能属于不同的特征值 练习 证明 若是矩阵A的特征值 是A的属于的特征向量 则
