1、2020 4 22 共20页 1 第1 3节 行列式 2020 4 22 共20页 2 用消元法解二元线性方程组 二阶行列式 2020 4 22 共20页 3 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 2020 4 22 共20页 4 即 二阶行列式中的数称为行列式的元素 2020 4 22 共20页 5 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 主对角线元素之积减去副对角线元素之积 2020 4 22 共20页 6 2020 4 22 共20页 7 2020 4 22 共20页 8 2020 4 22 共20页 9 则二元线性方程组的解为 注意分母是
2、由原方程组系数构成的二阶行列式 称为方程组的系数行列式 2020 4 22 共20页 10 根据定义算一算 主对角线元素之积减去副对角线元素之积 2020 4 22 共20页 11 三阶行列式 定义 记 6 式称为数表 5 所确定的三阶行列式 2020 4 22 共20页 12 1 沙路法 三阶行列式的计算 2020 4 22 共20页 13 2 对角线法则 注意红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元素的乘积冠以负号 说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2020 4 22 共20页 14 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 2020 4 22 共20页 1
3、5 若记 或 2020 4 22 共20页 16 记 即 2020 4 22 共20页 17 2020 4 22 共20页 18 得 2020 4 22 共20页 19 得 2020 4 22 共20页 20 则三元线性方程组的解为 2020 4 22 共20页 21 根据定义算一算 2020 4 22 共20页 22 练一练 计算 2020 4 22 共20页 23 余子式 一般地 如果定义了n 1阶行列式 则在 1 5 式表示的n阶行列式中 划去aij所在的行和列 剩余的元保持原来的次序所构成的n 1阶行列式 称为aij的余子式 记为 Mij 1 5 代数余子式 Aij 1 i jMij
4、2020 4 22 共20页 24 余子式 元素的余子式是在行列式中划掉所在的行和列 余下的元素构成的行列式 元素5的余子式 元素0的余子式 2020 4 22 共20页 25 代数余子式 元素5的代数余子式 元素0的代数余子式 2020 4 22 共20页 26 3阶行列式的余子式定义 三阶行列式的值等于它的第一行元素乘以各自的代数余子式再相加 2020 4 22 共20页 27 2020 4 22 共20页 28 定义1 10n阶行列式等于任意一行 列 的每一个元与其代数余子式乘积的和 即 分别称为行列式D按第i行和第j列展开的展开式 称上式为n阶行列式按第一列的展开式 2020 4 22
5、 共20页 29 例 计算行列式 解 2020 4 22 共20页 30 将行列式D的行列互换 得到的新行列式称为行列式D的转置行列式 记为DT或者D 即若 1 3 2 行列式的性质 2020 4 22 共20页 31 性质1 7行列式转置后 其值不变 即DT D 行列式的行所具有的性质 对列也一定成立 性质1 8互换行列式的两行 列 行列式只改变符号 对不相邻的两行 列 也一样 推论1 1行列式有两行 列 的对应元完全相同 则这个行列式为零 2020 4 22 共20页 32 性质1 9行列式中某一行 列 所有元的公因子 可以提到行列式符号外 即此因子乘以行列式 2020 4 22 共20页
6、 33 推论1 2如果行列式有一行 列 的元全为零 则行列式为零 推论1 3如果行列式有两行 列 的元对应成比例 则行列式为零 2020 4 22 共20页 34 性质1 10如果行列式的某一行 列 的元都是两项的和 则可以把这个行列式化为两个行列式的和 这两个行列式的这一行 列 的元分别是原行列式中相应位置的两项的第一项和第二项 而其他位置的元不变 2020 4 22 共20页 35 性质1 11行列式某一行 列 的元与另一行 列 对应元的代数余子式的乘积之和为零 即 2020 4 22 共20页 36 性质1 12如果行列式的某一行 列 的元加上另一行 列 相应元的 倍 则行列式不变 例如 以数 乘以第i行加到第j行上 记作 ri rj 2020 4 22 共20页 37 性质1 14设A B为n阶方阵 则有 AB A B 乘法定理 行列式的乘法定理可以推广到有限个方阵相乘的情形 即 2020 4 22 共20页 38 行列式及其性质 行列式的定义 行列式的性质 小结 2020 4 22 共20页 39 作业 P34 351 12 1 4 5
