1、第六节正定二次型 第六节实二次型的正定性 正 负 定二次型的判定 正 负 定二次型的概念 二次型的规范形及惯性定理 一个实二次型 既可以通过正交变换化为标准形 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形 其标准形一般来说是不唯一的 但标准形中所含有的项数是确定的 项数等于二次型的秩 下面我们限定所用的变换为实变换 来研究二次型的标准形所具有的性质 再实施线性变换 则二次型化为 这种系数为1或 1的二次型称为二次型的规范形 一 二次型的规范形及惯性定理 惟一是指规范形中指标p和r是由二次型确定的 其中r是二次型的秩 p称为二次型的正惯性指数 任意一个实二次型 定理 总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规
2、范形 且规范形是惟一的 称r p为负惯性指数 正负惯性指数的差2p r叫做符号差 因为二次型的规范形 对应的矩阵为 所以有以下推论 任意实对称矩阵合同于对角形矩阵 恒有 若对任何非零向量 若对任何 恒有 则称实二次型 二 正 负 定二次型的概念 定义 负定 并称对称矩阵A为负定矩阵 是实二次型 为正定二次型 为负定二次型 例如 实二次型 为正定的充分必要条件是 它的标准形的n个系数 全为正 充分性 三 正定二次型的判定定理 定理 设可逆变换 证明 必要性 反证法 假设有 这与f为正定相矛盾 这就证明了 推论 子式 称为矩阵A的i阶顺序主子式 A的各阶顺序主子式 定义 A的各阶顺序主子式 负正相间 例判断下列实二次型是否正定 解 1 f的矩阵为 所以f是正定的 解 2 f的矩阵为 所以f是负定的 例求参数t的范围 使下列二次型为正定二次型 2 正定二次型 正定矩阵 的判别方法 1 定义法 2 顺次主子式判别法 3 特征值判别法 1 正定二次型与正定矩阵的概念 3 根据正定二次型的判别方法 可以得到负定二次型 负定矩阵 相应的判别方法 请大家自己推导 小结 正定二次型与正定矩阵有何区别与联系
