1、三重积分的计算,问题:,研究思路:,设法将 化为,先定积分再二重积分,(1) 先单后重 :,(2) 先重后单 :,先二重积分再定积分,例1. 计算,其中是由平面x+y+z=1,与三个坐标面所围闭区域.,解： D: 0 y 1x, 0 x 1,例2. 计算,其中 是由抛物,柱面,及平面y=0, z=0,解： D: 0 y , 0 x ,例3. 将,化为三次定积分，其中, 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.,解：先对 z 积分，将 向 xy 平面投影.,z= x2+y2,x2+y2=1, D: x2+y21,z=1,z=1,x,y,z,0,1,Dxy,z=1,z= x2+y2,解2：
2、先对 y 积分，将 向 xz 平面投影：,z= x2+y2, Dxy: x2 z 1,z=1, 1 x1,z= x2+y2 ,例4. 计算,其中 是由 z=x2+y2 和 z=1,所围成的闭区域.,解：D(z): x2+y2z,z0, 1,例5. 计算,解： D(x): 0 y 1x, 0 z 1xy,x : 0 x 1,其中 是由平面 x+y+z=1,与三个坐标面所围闭区域.,例6. 计算,其中 由,与 z=1 所围闭区域.,解：, D: x2+y21, z =r,z=r,z=1,D,例7. 计算, =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0.,解：,D: x2+y21,得到,解,
3、例 8.,于是，,与球面,解: 积分区域如图所示.,则锥面,方程变为,球面方程变为r = a, 区域变为,运用球面坐标计算, 令,故,(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.),1,4,x+ y = 4,.,例10.,1,4,x+ y = 4,1,.,取第一卦限部分,例10.,4,x+ y = 4,.,D,.,.,o,1,例10.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,例11.,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2
4、y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,4,2,x+y+z=6,.,6,6,6,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,4,2,.,6,6,6,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,.,D,6,2,4,D,.,y2=x,例12.,y2=x,。,。,y2=x,D,例13 由曲面zx22y2 及z2x2所围成的闭区域；,zx22y2,z2x2,例13 由曲面zx22y2 及z2x2所围成的闭区域；,解,往 xz 平面上的投影区域,解,采用先重后单方法计算,解,例17.,解: 由对称性, 所求体积,运用极坐标系, 则 D 变成 D* :,式中,故,
