1、第3节非齐次线性方程组解的结构和求法 下页 二 非齐次线性方程组的解的结构 一 非齐次线性方程组的解的性质 性质3若h1 h2是AX b的解 则h1 h2是其导出方程组AX o的解 这是因为 A h1 h2 Ah1 Ah2 o b b 性质4若h是AX b的解 x是导出方程组AX o的解 则x h是AX b的解 这是因为 A x h Ax Ah o b b 下页 3 1非齐次线性方程组解的性质 说明若h0是AX b的一个确定的解 为了讨论问题的方便 有时也称其为AX b的一个特解 其中 k1 k2 kn r为任意常数 定理6设h0是AX b的一个特解 x1 x2 xn r是其导出方程组AX o
2、的基础解系 则AX b的通解为 下页 3 2非齐次线性方程组解的结构 证明 设h是AX b的任意一个解 则h h0是其导出方程组AX o的一个解 从而可用AX o的基础解系x1 x2 xn r表示 即h h0 k1x1 k2x2 kn rxn r 于是AX b的任一解可表示为h h0 k1x1 k2x2 kn rxn r k1 k2 kn r为任意常数 例6 解线性方程组 Ab 解 下页 显然r A 2 r Ab 3 即r A r Ab 所以方程组无解 解 x2 x4为自由未知量 得方程组的特解为 由于 令 所以方程组有无穷多组解 其一般解为 对应齐次方程组的一般解为 令 下页 得基础解系为
3、得方程组的特解为 令 对应齐次方程组的一般解为 令 方程的通解为 k1 k2是任意常数 下页 求解非齐次线性方程组流程图 下页 增广矩阵 Ab 阶梯形矩阵B r Ab r A 方程组无解 行最简形矩阵C 确定自由未知量及约束未知量 给出一般解 求AX o的基础解系 写出通解 初等行变换 N Y r Ab n 唯一解 初等行变换 Y N 求AX b的一个特解 问题 Cramer法则对应的流程 Cramer法则中 当系数行列式D 0时 对应的流程 例7 已知线性方程组为 讨论参数p t取何值时 方程组有解 无解 有解时求通解 1 当2 t 0时 即t 2时 方程组无解 2 当2 t 0时 即t 2
4、时 方程组有解 解 Ab 下页 当8 p 0 即p 8时 通解为 k为任意常数 下页 一般解为 1 当2 t 0时 即t 2时 方程组无解 2 当2 t 0时 即t 2时 方程组有解 通解为 当8 p 0 即p 8时 对应方程组的一般解为 k1 k2为任意常数 下页 1 设A为n阶方阵 若齐次线性方程组AX o有非零解 则它的系数行列式 2 设X 是AX b的解 X 是其对应齐次方程AX o的解 则X X 是 的解 一 填空题 1 n元齐次线性方程组AX o存在非零解的充要条件是 A的列线性无关 A的行线性无关 A的列线性相关 A的行线性相关 2 设x x 是AX o的解 h h 是AX b的
5、解 则 x h 是AX o的解 h h 为AX b的解 x x 是AX o的解 x x 是AX b的解 二 单选题 0 AX b 下页 三 判断题 1 无论对于齐次还是非齐次的线性方程组 只要系数矩阵的秩等于未知量的个数 则方程组就有唯一解 2 n个方程n个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数矩阵满秩 3 非齐次线性方程组有唯一解时 方程的个数必等于未知量的个数 4 若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数 则该方程组有非零解 5 三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解 6 两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩 错 对 对 对 错 错 下页 练习设线性方程组 问 取何值时 有解 有无穷多个解 解 对增广矩阵B A b 作初等行变换 下页 1 当 1时 则R A R B 1 故方程组有无穷多解 且其通解为 其中x2 x3为任意实数 下页 这时又分两种情形 2 当 1时 1 当 2时 则R A R B 3 故方程组有唯一解 2 当 2时 则R A R B 故方程组无解 下页 作业 107页3 1 2 110页8 结束
