1、 3 4奇解 一 包络和奇解 1包络的定义 定义1 对于给定的一个单参数曲线族 曲线族 3 23 的包络是指这样的曲线 它本身不包含在 曲线 3 23 中 但过这曲线的每一点有 3 23 中的一条曲线和它在这点相切 对于给定的一个单参数曲线族 其中 为参数 若存在一条曲线 满足下列条件 1 2 对任意的 存在唯一的 使得 且 与 在 有相同的切线 则称 为曲线族 的一条包络线 简称为包络 或定义 例如 单参数曲线族 其中R是常数 c是参数 表示圆心为 c 0 而半径等于R的一族圆 如图 R 从图形可见 此曲线族的包络显然为 注 并不是每个曲线族都有包络 例如 单参数曲线族 其中c为参数 表示一
2、族同心圆 如图 从图形可见 此曲线族没有包络 问题 对于给定的单参数曲线族 如何判断它是否有包络 如果有包络 如何求 根据定义 假设该单参数曲线族有包络 则对任意的 存在唯一的 使得 于是得到对应关系 从而得到二元函数 使得 若 可用参数形式表示为 记 则 于是 上任取一个固定点M 则M在某一条曲线 上 由于 与 在M点有相同的切线 而 与 在M点的切线的斜率 分别为 与 所以 有 从而 由于在 上不同的点也在不同的 上 即 因此 现在 因此 包络线 任意一点M不仅要满足 而且还要满足 把联立方程组 中消去参数c得到的方程F x y 0所表示的曲线 称为曲线族 的c 判别曲线 2包络的求法 曲
3、线族 3 23 的包络包含在下列两方程 注 解 记 则 即 因此c 判别曲线包括两条曲线 3 32 和 3 33 x y O 例2 求直线族 的包络 这里 是参数 是常数 解 记 则 消去参数 得 的c 判别曲线 经验证 是曲线族 的包络 如图 O x y 3奇解 定义2 微分方程的某一解称为奇解 如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在 注 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解 反之微分方程的奇解 若存在 也是微分方程的包络 例如 4奇解的求法 方程 的奇解包含在由方程组 注 例3 求微分方程 的奇解 解 从 消去p 实际上p 0 得到p 判别曲线 即 由于方程的通解为 三 克莱罗 Cla
4、iraut 方程 1定义3 形如 的方程 称为克莱罗 Clairaut 方程 为求它的解 令 得 经化简 得 2克莱罗 Clairaut 方程的求解 这是y已解出的一阶微分方程 如果 则得到 于是 Clairaut方程的通解为 如果 它与等式 联立 则得到Clairaut方程的以p为参数的解 或 其中c为参数 消去参数p便得方程的一个解 结果 Clairaut方程 的通解 是一直线族 此直线族的包络 或 是Clairaut方程的奇积分曲线 所对应的解是奇解 如果令 则 因此 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样 易验证 此参数曲线恰为通解的包络 例4 求解方程 解 这是Clairaut方程 因而它有通解 其中 因为 所以 从 中消去参数c 得到原方程的奇解 x y O 如图 故 此方程的通解是直线族 而奇解是通解的包络 作业 P99 一 1 4 二 1 三
