1、1 铸造过程计算机模拟讲义复习 有限差分法 冒国兵 2 主要内容 1 差分原理及逼近误差2 差分方程 截断误差和相容性3 收敛性与稳定性4 Lax等价定理 3 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 向前差分 1 2 向后差分 1 3 中心差分 1 4 1 差分原理 4 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 对一阶差分再作一阶差分 所得到的称为二阶差分 记为 以向前差分为例 有 1 5 5 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 依此类推 任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到 例如n阶前差分为 1 6 6 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 函数的差分与自变量的差分之比 即为差商 一阶向前差商
2、为 一阶向后差商为 1 7 1 8 7 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 一阶中心差商为 或 1 9 1 10 8 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 二阶差商多取中心式 即 当然 在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商 1 11 9 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 多元函数f x y 的差分与差商也可以类推 如一阶向前差商为 1 12 1 13 10 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度 称为逼近误差 由函数的Taylor展开 可以得到逼近误差相对于自变量差分 增量 的量级 称为用差商代替导数的精度 简称为差商的精度 1 15 2 逼近误差 1
3、1 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 一阶向后差商也具有一阶精度 1 16 同理 12 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 将 与 的Taylor展开式相减可得 可见一阶中心差商具有二阶精度 1 17 13 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 这说明二阶中心差商的精度也为二阶 1 18 将 与 的Taylor展开式相加可得 14 第二节差分方程 截断误差和相容性 差分方程 如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替 就可得到有限形式的差分方程 现以对流方程为例 列出对应的差分方程 2 1 15 图2 1差分网格 第二节差分方程 截断误差和相容性 差分方程 16 若时间导数用一阶向前差商近似代
4、替 即 空间导数用一阶中心差商近似代替 即 则在 点的对流方程就可近似地写作 2 2 2 3 2 4 第二节差分方程 截断误差和相容性 差分方程 17 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 按照前面关于逼近误差的分析知道 用时间向前差商代替时间导数时的误差为 用空间中心差商代替空间导数时的误差为 因而对流方程与对应的差分方程间也存在一个误差 2 5 18 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 一个与时间相关的物理问题 还须给定初始条件 从而形成完整的初值问题 对流方程的初值问题为 相应差分格式 2 7 2 8 19 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 FTCS格式 2 9
5、FTFS格式 2 10 20 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 2 11 FTBS格式 21 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 a FTCS b FTFS c FTBS图2 2差分格式 22 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 FTCS格式的截断误差为 FTFS和FTBS格式的截断误差为 2 12 2 13 3种格式对 都有一阶精度 23 第二节差分方程 截断误差和相容性 相容性 如果当 时 差分方程的截断误差的某种范数 也趋近于零 即 则表明从截断误差的角度来看 此差分方程是能用来逼近微分方程的 通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容 2 17 24 第二节差分
6、方程 截断误差和相容性 相容性 只有方程相容 定解条件也相容 即 和 整个问题才相容 2 21 25 第三节收敛性与稳定性 收敛性 当自变量步长趋于零时 要求差分格式的 精确 解趋于微分方程定解问题的 精确 解 我们称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性 也是微分问题定解区域上的一固定点 设差分格式在此点 的解为 相应的微分问题的解为 二者之差为 3 1 更明确地说 对差分网格上的任意结点 称为离散化误差 26 第三节收敛性与稳定性 收敛性 如果当 时 离散化误差的某种范数 趋近于零 即 则说明此差分格式是收敛的 即此差分格式的解收敛于相应微分问题的解 3 2 27 第三节
7、收敛性与稳定性 稳定性 首先介绍一下差分格式的依赖区间 决定区域和影响区域 还是以初值问题 为例 先看FTCS格式 如图3 1 a p点的解依赖于初值线AB段上所有结点的初值 故称AB段上所有结点为p点的依赖区间 3 17 a FTCS b FTFS c FTBS图3 1差分格式的依赖区间 28 第三节收敛性与稳定性 稳定性 a FTCS b FTFS c FTBS图3 1差分格式的依赖区间 又 三角形pAB区域内任一结点的依赖区间都包含在AB之内 即该区域内任一结点上的解都由AB段上某些结点的初值所决定 而与AB以外结点的初值无关 故称此三角形区域为AB区间所决定的区域 29 第三节收敛性与
8、稳定性 稳定性 所有受p点函数值影响的结点总和为p点的影响区域 如图3 2中阴影所示区域 FTCS格式 b FTFS格式 c FTBS格式图3 2差分格式的影响区域 30 第三节收敛性与稳定性 稳定性 例如微分问题 其解为零 即若用FTBS格式计算 且计算中不产生任何误差 则结果也是零 即 3 18 3 19 31 第三节收敛性与稳定性 稳定性 假设在第k层上的第j点 由于计算误差得到 不妨设k 0 j 0 即相当于FTBS格式写成 3 20 32 第三节收敛性与稳定性 稳定性 现分别取 和2 列表计算如下 1 n 33 第三节收敛性与稳定性 稳定性 2 n 34 第三节收敛性与稳定性 稳定性 3 n 35 第三节收敛性与稳定性 稳定性 这个例子一方面显示了该格式的影响区域 另一方面还显示了当值不同时 计算误差所产生的影响在数值上有很大的不同 当时 所产生的影响在数值上不再扩大 当时 所产生的影响在数值上将越来越大 数值上的差别引出了质的不同 因而出现了稳定性问题 36 第四节Lax等价定理 Lax等价定理 对一个线性微分问题及一个与其相容的差分格式 如果该格式稳定则必收敛 不稳定必不收敛 换言之 若线性微分问题的差分格式相容 则稳定性是收敛性的必要和充分条件 这也可表示为
