1、第四章 微分法 积分法 互逆运算 不定积分 二 基本积分表 三 不定积分的性质 一 原函数与不定积分的概念 第一节 机动目录上页下页返回结束 不定积分的概念与性质 第四章 一 原函数与不定积分的概念 引例 一个质量为m的质点 下沿直线运动 因此问题转化为 已知 求 在变力 试求质点的运动速度 机动目录上页下页返回结束 根据牛顿第二定律 加速度 定义1 若在区间I上定义的两个函数F x 及f x 满足 在区间I上的一个原函数 则称F x 为f x 如引例中 的原函数有 问题 1 在什么条件下 一个函数的原函数存在 2 若原函数存在 它如何表示 定理1 存在原函数 下章证明 初等函数在定义区间上连
2、续 初等函数在定义区间上有原函数 机动目录上页下页返回结束 定理2 原函数都在函数族 C为任意常数 内 证 1 又知 故 即 属于函数族 机动目录上页下页返回结束 即 定义2 在区间I上的原函数全体称为 上的不定积分 其中 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 P183 若 则 C为任意常数 C称为积分常数不可丢 例如 记作 机动目录上页下页返回结束 不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族 机动目录上页下页返回结束 的积分曲线 例1 设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解 所求曲线过点 1 2 故有
3、因此所求曲线为 机动目录上页下页返回结束 例2 质点在距地面 处以初速 力 求它的运动规律 解 取质点运动轨迹为坐标轴 原点在地面 指向朝上 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻t质点所在位置为 则 运动速度 加速度 机动目录上页下页返回结束 垂直上抛 不计阻 先求 由 知 再求 于是所求运动规律为 由 知 机动目录上页下页返回结束 故 二 基本积分表 P186 从不定积分定义可知 或 或 利用逆向思维 k为常数 机动目录上页下页返回结束 或 或 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 例3 求 解 原式 例4 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 三 不定积分的性质
4、推论 若 则 机动目录上页下页返回结束 例5 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例6 求 解 原式 例7 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例8 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 见P186 2 直接积分法 利用恒等变形 及基本积分公式进行积分 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 代数公式 积分性质 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 证明 2 若 P191题4 提示 机动目录上页下页返回结束 提示 3 若 是 的原函数 则 提示 已知 机动目录上页下页返回结束 4 若 的导函数为 则 的一个原函数 是 提示 已知 求 即 B 或由题意 其原函数为 机动目录上页下页返回结束 5 求下列积分 提示 机动目录上页下页返回结束 6 求不定积分 解 机动目录上页下页返回结束 7 已知 求A B 解 等式两边对x求导 得 机动目录上页下页返回结束 作业 P1901 5 12 14 20 23 25 26 2 3 第二节目录上页下页返回结束
