1、什么是变分法 约翰 伯努利 JohannBernoulli 1667 1748 1696年向全欧洲数学家挑战 提出一个难题 设在垂直平面内有任意两点 一个质点受地心引力的作用 自较高点下滑至较低点 不计摩擦 问沿着什么曲线下滑 时间最短 这就是著名的 最速降线 问题 TheBrachistochroneProblem 它的难处在于和普通的极大极小值求法不同 它是要求出一个未知函数 曲线 来满足所给的条件 欧拉 EulerLonhard 1707 1783 和拉格朗日 Lagrange JosephLouis 1736 1813 发明了这一类问题的普遍解法 从而确立了数学的一个新分支 变分学 现
2、实中很多现象可以表达为泛函极值问题 我们称之为变分问题 求解方法通常有两种 古典变分法和最优控制论 我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴 变分法基本知识 定义 泛函 设S为一函数集合 若对于每个函数 有一个实数J与之对应 则称J是定义在S上的泛函 记为 S称为J的容许集 泛函最简形式 泛函极值 则称泛函J在有极小值 极大值 容许集S中函数距离 函数增量 泛函增量 如果 线性部分 高次项 就称为泛函J的变分 极值与变分 若泛函J在取极小值 极大值 则 变分法的基本引理 则 泛函极值的必要条件 容许函数类S取为满足端点条件的二阶可微函数集合 则泛函J在取极值的必要条件为满足欧拉方程 欧拉方程推
3、导 对右端第二项做分部积分 并利用 利用泛函极值的变分表示 得 根据变分法的基本引理以及条件 欧拉方程可以推广到含两个或两个以上未知函数的情况 如假设 其欧拉方程为 端点变动的情况 横截条件 在考虑泛函极值时 如果容许函数的一个端点不固定 而是在一条曲线 上变动 于是端点条件可以表示为 欧拉方程 其中 称为横截条件 横截条件有两种常见的特殊情况 横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件 条件极值与Hamilton函数 在最优控制系统中 常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题 其典型形式是对动态系统 寻求最优性能指标 目标函数 控制函数 状态函数 用拉格朗日乘子法化条件极值为无条件极值 引入乘子函数构造泛函 首先定义条件极值问题的哈密顿 Hamilton 函数为 其变分为 最优控制问题求解 必满足正则方程 满足 用于确定 利用边界条件 端点条件 用于确定 用于确定 用于确定
