1、一. 名词解释弱收敛，弱*收敛， ，强制，Gateaux 可微，Frechet 可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，,0()kpW映射的 Brouwer 度，全连续场，全连续场的 Leray-Schauder 度2C二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。三. 求下列函数在 处沿着 方向的 G-微分(0,)12(,)h2112,()(0,()0xxf四. 证明 Poincare 不等式：存在常数 使得对任意 ，有C1,|,(0,)ppnTuWuLTR1,pTC五. 设 是有界闭集， 是 上的连续函数，证明积分算子nR(,)kxyu2R:(), ()(,)KCKxkyd是全连续算
2、子。六. 设 是 Banach 空间， 连续，对固定的 ， 关于 是局部X:0,)fX0,)t(,)ftxLipschitz 的，并且 Lipschitz 常数对 在有界区间 上一致有界，证明：存在 ，使得下列初值问题在区t,间 上有唯一解0, 0(,)dxft七. 证明 Gronwall 不等式：设 是 上的实函数，其中 非负且在 上 Lebesgue 可积， 在,uvw,abu,abv上绝对连续， 在 上连续，若它们满足,abab()(), tatvuswdatb则 ()exp()exp()tttaasdvwtvsus八. 证明 Brouwer 度的切除性、Kronecker 存在性定理、
3、连通区性质、边界值性质、 Poincare-Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。九. 设 连续，关于 是局部 Lipschitz 的，关于 是 周期的，若存在球 使得:nfRxtT(0)nrBR时， ，证明下列初值问题存在 周期解(0),rxBtT1(,)(,)0niiftxftxT0(,)dftx十. 设 是有界闭集， 是 上的连续函数，并且满足下面的不等式nR(,)kxyu2R2|,|, (,)abuxyR其中 ，证明下列积分方程有连续解,0()1abmes()(,)xkyd十一. 设 定义为2:fR323(,),)fxyxy证明 ，其中 .2deg(,0)3fBp10p一. 名词解释弱
4、收敛:弱*收敛:,0()kpW强制:Gateaux 可微:Frechet 可微:紧映射:正则点:临界点，正则值，临界值:映射的 Brouwer 度2C全连续场全连续场的 Leray-Schauder 度二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。 （5 页）三. 求下列函数在 处沿着 方向的 G-微分(0,)12(,)h2112,()(0,()0xxf四. 证明 Poincare 不等式：存在常数 使得对任意 ，有0C1,|,(0,)ppnTuWuLTR1,pTC五. 设 是有界闭集， 是 上的连续函数，证明积分算子nR(,)kxyu2R:(), ()(,)KCKxkyd是全连续算子。(44
5、 页)六. 设 是 Banach 空间， 连续，对固定的 ， 关于 是局部X:0,)fX0,)t(,)ftxLipschitz 的，并且 Lipschitz 常数对 在有界区间 上一致有界，证明：存在 ，使得下列初值问题在区t,间 上有唯一解0,（59 页）0(,)dxft七. 证明 Gronwall 不等式：设 是 上的实函数，其中 非负且在 上 Lebesgue 可积， 在,uvw,abu,abv上绝对连续， 在 上连续，若它们满足（61 页）,abab()(), tatvuswdatb则()exp()exp()tttaasdvwtvusdus八. 证明 Brouwer 度的切除性、Kro
6、necker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、 Poincare-Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。 （83 页）九. 设 连续，关于 是局部 Lipschitz 的，关于 是 周期的，若存在球 使得:nfRxtT(0)nrBR时， ，证明下列初值问题存在 周期解（91 页）(0),rxBtT1(,)(,)0niiftft0(,)dxft十. 设 是有界闭集， 是 上的连续函数，并且满足下面的不等式nR(,)kxyu2R2|,|, (,)abuxyR其中 ，证明下列积分方程有连续解,0()1abmes()(,)xkyd十一. 设 定义为2:fR323(,),)fxyxy证明 ，其中 .2deg(,0)3fBp10p(春雪给的)
