1、圆锥曲线定义的“条件”教学圆锥曲线定义的“条件”教学圆锥曲线定义的“条件”教学新疆石河子高级中学 尤乃奎【摘 要】数学定义、定理、公式或问题中都或多或少涉及到条件的限制，做好数学知识的“条件”教学，对于学生透彻地理解数学理论、全面地解决数学问题大有帮助。 【关键词】数学；定义；定理；公式 问题；条件；教学 2013 年 4 月，在高中数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程 （人教版）的教学中，当我讲椭圆、双曲线、抛物线的定义时，我都会遇到同样的一个问题，而且是学生每每质询的一个问题，那就是：“老师，定义中括号里的条件该怎么解释？”数学定义、定理、公式或问题中都或多或少涉及到条件的限制，做好数学
2、知识的“条件”教学，对于学生透彻地理解数学理论、全面地解决数学问题都非常有帮助，现在已经完成了高中数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程的教学，我觉得有必要把我在圆锥曲线定义教学中，关于定义中条件的教学片段梳理一下。 圆锥曲线“条件”教学片段一：椭圆定义中的条件限制讲到 2.2.1 节椭圆及其标准方程时，椭圆的定义（课本第 38 页）是：平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“大于|F1F2|”）呢？教师答：因为如果去掉这个条件，则定义所表示的图形将不一定是椭圆。学生问：为什么？教师答：这个问题可以从
3、三个角度理解：如果条件是“大于|F1F2|” ，则定义叙述的内容表示椭圆，这毫无疑问，正如我们用小绳子按住两头所演示的一样。如果条件是“等于|F1F2|” ，则定义叙述的内容表示线段 F1F2。 （我在黑板上划线段 F1F2，并取其上一点 P,并演示|PF1|+|PF2|=|F1F2|,学生点头表示理解） 。如果条件是“小于|F1F2|” ，则定义叙述的内容不表示任何图形，即动点轨迹不存在。 （我在黑板上演示，显然|PF1|+|PF2|F1F2|不能产生任何图形） 。进一步，我用三个小问题进行巩固：问题：试判断以下情况动点的轨迹：（1）到两定点F1（-7,0） ，F2（7,0）的距离之和大于
4、14 的点的轨迹是什么？（2）到两定点 F1（-7,0） ，F2（7,0）的距离之和等于 14 的点的轨迹是什么？（3）到两定点 F1（-7,0） ，F2（7,0）的距离之和小于14 的点的轨迹是什么？学生很快就可以得出结论。 圆锥曲线 “条件”教学片段二：双曲线定义中的条件限制很有双曲线的定义（课本第 52 页）是：平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“小于|F1F2|”呢？教师答：因为如果去掉这个条件，则定义所表示的图形将不一定是双曲线。学生问：为什么？教师答：这个问题可以从三个角度理
5、解：如果条件是“小于|F1F2|” ，则定义叙述的内容表示双曲线，这毫无疑问，正如我们用拉链按住两头所演示的一样。如果条件是“等于|F1F2|” ，则定义叙述的内容表示以 F1、F2 为端点的两条射线（包含端点） 。（我在黑板上划出直线 F1F2，并在点 F1、F2 两侧各取两点 P、Q,并演示|PF1|-|PF2|=|F1F2|,指出动点的轨迹是射线 F1P、F2Q，学生点头表示赞同） 。如果条件是“大于|F1F2|” ，则定义叙述的内容不表示任何图形，即动点轨迹不存在。 （我在黑板上演示，显然|PF1|-|PF2|F1F2|不能产生任何图形） 。同样，我给出三个小问题加以辨别：问题：试判断
6、以下情况动点的轨迹：（1）动点 P 到两定点 F1（-7,0） ，F2（7,0）的距离之差的绝对值小于 14 的点的轨迹是什么？（2）动点 P 到两定点 F1（-7,0） ，F2（7,0）的距离之差的绝对值等于 14 的点的轨迹是什么？（3）动点 P 到两定点F1（-7,0） ，F2（7,0）的距离之差的绝对值大于 14 的点的轨迹是什么？学生也可以很快得出结论。然后，我又给出两个问题：条件改为“|PF1|-|PF2|14” ，动点的轨迹又会怎样呢？若条件改为“|PF2|-|PF1|14” ，动点的轨迹又会怎样呢？学生结合双曲线的图形，很容易判断是：双曲线的左支和右支。 圆锥曲线 “条件”教学
7、片段三：抛物线定义中的条件限制讲到 2.4.1 节抛物线及其标准方程一课时，同样遇到了“条件”问题。抛物线的定义（课本第 65 页）是：平面内与一个定点 F 和一条定直线（不经过点 F）距离相等的点的轨迹叫抛物线。在用直尺、三角板、细绳等演示了抛物线形成过程之后，学生又不禁要对“条件”发问了。学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“（不经过点 F） ”呢？教师答：如果去掉“（不经过点 F） ”这个条件，则定义所表示的图形将不一定是抛物线。学生问：为什么？教师答：这个问题可以从两个角度理解：如果条件是“（不经过点 F） ”，则定义叙述的内容表示抛物线，这正如我们直尺、三角板、细绳等所演示的
8、一样。如果没有“（不经过点 F） ”条件限制，则当经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F，且垂直于直线的一条直线，定义叙述的内容表示的图形是一条直线而非抛物线。 （然后我在黑板上画图演示，学生恍然大悟，看来学习知识必须要细致！）然后，我又出了两道题加以巩固。（1）平面内到定点 F 的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是（ ）A.抛物线 B.直线 C.抛物线或直线 D.不存在（2）求过点F（1,0）且与直线：x+y-1=0 的距离相等的点的轨迹。很显然（1）选 C,（2）答案是：x-y-1=0（即：过定点 F，且垂直于直线的一条直线） 。通过对圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的定义教学，使我体会到“条件”教学的重要性，对于每一个数学知识点，必须清楚、完整地点拨，不留知识盲区，不留认识死角，真理越辨越明，只有让学生全面、透彻的掌握知识，才能做到一通百通、游刃有余。
