1、1 7二项式系数 1 7 1二项式系数的概念1 7 2Pascal公式1 7 3二项式定理1 7 4组合恒等式1 7 5二项式反演公式1 7 6多项式定理1 7 7牛顿二项式定理 1 7 1二项式系数的概念 二项式系数的定义n与k均为正整数 n k二项式系数的性质 1 7 2Pascal公式 定理1 7 1 Pascal公式 对于满足1 k n 1的所有正整数k和n 有证明从n位人中任选k人组成一个小组有种选法另一方面 设x是这n位人中的某一位 从这n位人中选取k位人且一定没有x组成的小组有种 从n位人中选取k位人且一定有x组成的小组有种 由加法原则 共有种 1 7 2Pascal公式 杨辉三
2、角形 Pascal三角形 1 7 3二项式定理 定理1 7 2 二项式定理 设n是正整数 对于一切实数x和y有证明右式中每个 x y 贡献一个x或一个y组成的n排列一一对应项 k 0 1 n 未合并同类项 于是 该n排列的个数即为项 k 0 1 n 的个数 系数 而这n排列的个数即为重集 k x n k y 的全排列数P n k n k 1 7 4组合恒等式 1 令S a1 a2 an 则S有2n个组合假设现要选择具有偶数个元素的一个组合 此时对于a1 a2 an 1都有两种选择 但当决定an时只有一种选择 若已经选择了a1 a2 an 1中的偶数个 则就必须把an留在外面不选 若已经选择了a
3、1 a2 an 1中的奇数个 则就必须选择an 乘法原则 S的具有偶数个元素的组合的个数等于2n 1 2 设S A B 且A a1 a2 an B b1 b2 bn S的一个n组合可这样构造 先从A中选k k 0 1 n 个元素 再从B中选n k个元素 因此S的全部n组合数为 1 7 4组合恒等式 3 证一做重集S a1 a2 an 2 则S的m组合的个数为另一方面 S的m组合可分为如下m 1类 1 不含a1 有个 2 恰含一个a1 有个 3 恰含两个a1 有个 m 1 恰含m 1个a1 有个 m 恰含m个a1 只有一个 即个 1 7 4组合恒等式 证二做集合S a1 a2 am n 1 则S
4、的m组合的个数为另一方面 S的m组合可分为如下m 1类 1 7 4组合恒等式 4 其中m n r均为正整数 r min m n 证明做集合A a1 a2 am B b1 b2 bn 一方面 集合S A B的r组合的个数为另一方面 集合S A B的r组合可分为如下r 1类 且构造第k k 0 1 2 r 类组合可分为两步 先从A中取k个元素 共个方案 再从B中取r k个元素 共个方案 由乘法原则 第k k 0 1 2 r 类组合共个 1 7 4组合恒等式 5 其中n k为正整数证明做集合S a1 a2 an 1 一方面 集合S的k 1组合的个数为另一方面 集合S的k 1组合可分为如下n 1类 1
5、 含a1 有个 2 不含a1但含a2 有个 3 不含a1 a2但含a3 有个 n 不含a1 a2 an 1但含an 有个 n 1 不含a1 a2 an但含an 1 有个 1 7 4组合恒等式 1 7 5二项式反演公式 定理1 7 3 二项式反演公式 设 an n 0 和 bn n 0 是两个数列 s是非负整数 若对任意不小于s的整数n 都有an 则对任意不小于s的整数n 都有bn 1 7 5二项式反演公式 例1 7 1令g m n 为由m个元素集合A到n个元素集合B的满射的个数 m n 则g m n 1 7 5二项式反演公式 证明m元集合A到n元集合B的映射共有nm个设D为B的k k 1 2
6、3 n 元子集 则由集合A到集合D的满射的个数为g m k 于是有nm 由二项式反演公式 这里an nm bk g m k 得g m n 1 7 5二项式反演公式 例1 7 2用m m 2 种颜色去涂1 n棋盘 每格涂一种颜色 以h m n 表示使得相邻格子异色且每种颜色都用上的涂色方法数 求h m n 的计数公式 解用m种颜色去涂1 n棋盘 每格涂一种颜色且使得相邻格子异色的涂色方法共有m m 1 n 1种 其中恰好用上k 2 k m 种颜色的涂色方法有h k n 种 于是有m m 1 n 1 由二项式反演公式得h m n 1 7 6多项式定理 定理1 7 4 多项式定理 令n为一正整数 对所有的实数x1 x2 xt 有其中 求和对n1 n2 nt n所有非负整数解n1 n2 nt进行 1 7 6多项式定理 例1 7 3求中项的系数解例1 7 4求中项的系数解求 1 7 7牛顿二项式定理 定理1 7 5 牛顿二项式定理 对一切实数 和x x 1 有其中
