1、观察 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 1 上述的表叫做二项式系数的表 观察表中二项式系数的规律 并加以归纳 2 继续观察 归纳每行二项式系数的特点 即二项式系数的性质 猜测出二项式系数的性质 知识目标 1 掌握二项式系数的性质 2 进一步认识组合数 组合数的性质 能力目标 1 使学生建立 杨辉三角 与二项式系数之间的直觉 并探索其中的规律 培养学生的探索精神和创新意识 2 能运用函数观点分析处理二项式系数的性质 提高学生分析问题 发现问题 解决问题的能力 激发学生的学习兴趣 结合 杨辉三角 对学生进行爱国主义教育 激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤
2、奋学习的热情 情感目标 通过探究提炼二项式系数的性质和讨论它的一些方法 如 赋值法 递推法 图象法 用函数的角度研究二项式系数的性质和对赋值法的灵活运用 通过画出函数图象 数形结合地进行思考 1 杨辉三角 南宋末年钱塘人 是当时有名的数学家和教育家 杨辉一生编写的数学书很多 但散佚严重 杨辉生活在浙江杭州一带 曾当过地方官 到过苏州 台州等地 他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题 杨辉 本节课的课题 二项式定理 就是研究 a b 的平方 a b 的三次方 a b 的n次方的乘法展开式的规律 法国数学家帕斯卡在17世纪发现了它 国外把这一规律称为帕斯卡三角 其实 我国数学家杨辉早在1261年在
3、他的 详解九章算法 中就有了相应的图表 九章算术 详解九章算法 中记载的表 2 二项式系数性质 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当时 其图象是右图中的7个孤立点 由以上分析可以画出如下图 观察 结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质 知识要点 1 对称性与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式Cnm Cnn m得到 直线将函数的图像分成对称的两部分 它是图像的对称轴 知识要点 2 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 由 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 可知
4、 当时 当n为奇数时 中间两项的二项式系数 相等 且同时取得最大值 知识要点 3 各二项式系数之和已知 1 x n Cn0 Cn1x Cnrxr Cnnxn令x 1 则2n Cn0 Cn1 Cnn 例题 证明在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 分析 奇数项的二项式系数的和为Cn0 Cn2 偶数项的二项式系数的和为Cn1 Cn3 由于在二项式定理中a b可以取任意实数 因此我们可以通过对a b适当赋值来得到上述两个系数和 证明 在二项展开式中 令a 1 b 1 则得 1 1 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 1 nCnn即0 Cn0 Cn2 Cn1 Cn
5、3 所以Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 即得证 1 二项式系数的三条性质 1 对称性 2 增减性与最大值 3 各二项式系数的和 4 递推性 杨辉三角中 2 数学思想方法 1 函数法 2 特殊值法 3 赋值法 递推法 图象法 3 系数 与 二项式系数 的区别不能混淆两者 只有二项式系数最大的才是中间项 而系数最大的不一定是中间项 1 2004年上海春季高考卷 如图 在由二项式系数所构成的杨辉三角中 第 行中从左到右第14与第15个数的比为2 3 34 解析 由图1我们能发现 第1行中的数是 第2行中的数是 第3行中的数是 则第n行中的数是 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为 则 解得 2
6、 2003年湖北 1 x3 1 x 10的展开式中含x4的项的系数为 用数字作答 解析 1 x3 1 x 10 1 x3 1 C101x C102x2 C103x3 C104x4 x4的系数为C104 1 C101 200 200 3 2003年成都 若n N且n为奇数 则6n 6n 1 6n 2 6 1被8除所得的余数是 A 0 B 2 C 5 D 7 原式 6 1 n 2 7n 2 8 1 n 2 8n 8n 1 8n 2 8 1 2 8 8n 1 8n 2 3 余数为8 3 5 C 1 Cn1 Cn2 Cnn C111 C113 C115 C117 C119 C1111 2 在 1 x
7、10的展开式中 二项式系数最大为 在 1 x 11的展开式中 二项式系数最大为 1 填空 1 的展开式中 无理项的个数是 A 83B 84C 85D 86 2 x 2 9的展开式中 第6项的二项式系数是 A 4032B 4032C 126D 126 2 选择 3 解答题 1 求 2x 3y 6的展开式的第三项 解 由二项展开式的通项知T3 T2 1 C62 2x 6 2 3y 2 2160 x4y2 2 求 2a 3b 6的展开式的第三项的二项式系数 解 由二项展开式的通项知T3 T2 1 C62 2a 6 2 3b 2 2160a4b2由二项式系数定义知 展开式的第三项的二项式系数为C62 15 而展开式的第三项的系数为2160
