1、成都七中授课人 曹杨可课件制作 曹杨可 10 4二项式定理 3 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做的二项展开式 二项展开式中的叫做二项展开式的通项 用来表示 即通项为展开式的第r 1项 其中叫做二项式系数 二项展开式有以下特征 1 共有n 1项 2 各项里a的指数从n起依次减小1 直到0为止 b的指数从0起依次增加1 直到n为止 每一项里a b的指数和均为n 二项式系数的性质 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 图象的对称轴 2 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 2 增减性与最大值 由 二项式系数是逐渐增大的 由对称
2、性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 可知 当时 2 增减性与最大值 3 各二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 例5证明在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明 在展开式 中 令a 1 b 1 则 就是 即在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 当n为偶数时 中间一项即项的二项式系数取得最大值 当n为奇数时 中间两项即的二项式系数 相等 且同时取得最大值 3 各二项式系数的和 4 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系
3、数的和 例6已知的展开式中 第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 解 依题意 整理得 展开式中二项式系数最大的项为 设展开式中第r 1项的系数最大 则 解得 展开式中系数最大的项为 例7用二次式定理证明 1 1110 1能被100整除 2 能被整除 证明 1 1110 1能被100整除 证明 2 故能被整除 例7用二次式定理证明 1 1110 1能被100整除 2 能被整除 例8 解 1 令 则 2 令x 1 则 例9 求展开式中含x项的系数 解法1 只有中含有x项 其系数为 解法2 展开式中含x项的系数是 解法3 展开式中含x项的系数是
4、 例10 试判断的展开式中有无常数项 解 依题意 故在的展开式中有常数项 它是第9项 即 例11 求的展开式里有多少个有理项 解 对于一切有理项 必为整数 则r必是6的倍数 故展开式中的有理项有17个 思考 在本题中若问无理项有多少个 如何解决呢 练习1 1 6 练习2 P1101 3 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数 它有三条性质 要理解和掌握好 同时要注意 系数 与 二项式系数 的区别 不能混淆 只有二项式系数最大的才是中间项 而系数最大的不一定是中间项 尤其要理解和掌握 取特值 法 它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段 内容小结 作业 二教材读书P107 110 完成分级训练
