1、成都七中授课人 曹杨可课件制作 曹杨可 10 4二项式定理 4 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做的二项展开式 二项展开式中的叫做二项展开式的通项 用来表示 即通项为展开式的第r 1项 其中叫做二项式系数 二项展开式有以下特征 1 共有n 1项 2 各项里a的指数从n起依次减小1 直到0为止 b的指数从0起依次增加1 直到n为止 每一项里a b的指数和均为n 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 当n为偶数时 中间一项即项的二项式系数取得最大值 当n为奇数时 中间两项即的二项式系数 相等 且同时取得最大值 3 各二项式系数的和 4 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数
2、的和 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 例1 试判断的展开式中有无常数项 解 依题意 故在的展开式中有常数项 它是第9项 即 例2 问的展开式里有多少个有理项 解 对于一切有理项 必为整数 则r必是6的倍数 答展开式中的有理项有17个 思考 在本题中若问无理项有多少个 如何解决呢 例3 求展开式中含x项的系数 解法1 只有中含有x项 其系数为 解法2 展开式中含x项的系数是 解法3 展开式中含x项的系数是 例4 已知 解 1 令 则 2 令x 1 则 4 解1 例4 已知 解2 a0 a2 a4 a6小于零 而a1 a3 a5 a7大于零 例5 例6 求证 1 证明 由二项
3、式定理 令a 1 b 2 则 即 2 证明1 令 则 由 得 2 证明2 右边 原等式成立 说明 证法1借用了数列求和的方法 倒序求和法 这也是证明组合数恒等式的常用方法 证法2利用一个常用结论 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数 它有三条性质 要理解和掌握好 同时要注意 系数 与 二项式系数 的区别 不能混淆 只有二项式系数最大的才是中间项 而系数最大的不一定是中间项 尤其要理解和掌握 取特值 法 它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段 内容小结 作业 二教材读书P110 112 完成分级训练 1 已知的展开式中的系数和比的展开式中的二项式系数和大240 求的展开式中的第3项
4、解 依题意有 于是的展开式中的第3项是 巩固练习 2 求的展开式中二项式系数最大的是第几项 系数最大的是第几项 设展开式中第r 1项的系数最大 则 故第18项的系数最大 解 展开式中二项式系数最大的是中间项 3 求展开式的项数 解 展开式的项数是 3 已知的展开式中 第3项的系数与第5项的系数之比是1 4 且第4项等于 1600 求x的值 解 由于 依题意有 4 已知的展开式中x的系数为19 求 1 展开式中系数的最小值 2 当的系数最小时 求的系数 解 1 由已知得 展开式中的系数是 当m 9或m 10时 x2的系数有最小值81 2 当x2的系数有最小值81时 m 9 n 10或n 9 m 10 这时x7的系数是 5 求证 证明 故原式得证 6 求证 证明 此式左右两边展开式中xp的系数必相等 左边xp的系数是 右边xp的系数是
