1、一柯西施瓦茨不等式及其积分形式柯西不等式： 222 21112()()()nnnababab 证明：（1）构造二次函数：22 21121()()x()nnnfxxa 显然， 成立，那么 ，而判别式就是上述形式。0f0（2）当然也可以考虑数学归纳法 222221111111()()()()()nnnnnababab 22 211111()()()nnnnn 两边的好说，归纳假设就解决了，中间的部分用一下基本不等式，解决。 】然后，是积分形式：柯西施瓦茨不等式： 222()()()bbbaaafxgdfxdgx证明：简单写吧，因为很容易看出，这个不等式和上面的式子密切相关取 ，即可。 】1xn在裴
2、礼文数学分析习题集上，还有另外一种证法，考虑到篇幅，就不再过多叙述，有兴趣的同学可以看一元积分学一章。二杨不等式及其积分形式杨不等式的形式很简单： （p0 且 q0） ，则1pq1pqab证明：先两边同时取对数，考虑函数 的上凸性，即证。 】lnyx这个定理还没完，我们只说了 p0 且 q0 时的情况，那么如果有一个小于 0 呢？可令 （ ） ，我们可以想到什么呢：定比分点。 p0abxpq1且 q0 时，x 在（a，ln（a） ） ， （b，ln（b） ）确定的线段上。 p，q 中有一个小于 0 的时候，在射线上。考虑一下一条直线与对数函数的关系，结论就出来了： 。1pqb这个东西一会儿使用
3、得到的，在推导赫尔德不等式的时候，杨不等式会是我们的利器。还有积分形式。不得不说，这个所谓的积分形式是指能推出杨不等式，至于形式上，两个不等式并不相同：设 a0,b0， 在 连续且严增， ，设反函数()yx0,a(0)x()则有 00()abd证明：考虑 时（其他情况可设 ，再做一下变换）：()(a)k左边= 11101)x)x()()nniii iiini ix x = 】()ab如果令 ，取积分上限分别为 ， 即可得到赫尔德不等式。1xp1paqb三、赫尔德不等式 （我暂时没找到这个不等式的积分形式。 。 。 。 。 。 。 。 ）非负实数 若 ，1212,nnab 当 p，q1 时 11
4、1()()pqii iii iab当 p，q 异号时 111()()nnnpqii iii ia证明：只需证明两种情况中的一种（不妨为第一种）：首先，有如下关系：再1111111bb()()pqpqi ii i innnnnnpqi i i iiiii i iiiabaa将这 n 项加和，即 ，再移项，即得赫尔德不等式。同理，是另外一种情况的证明。 】当然，这个不等式也可以用加权不等式证明，具体证法还是见裴礼文。四、闵可夫斯基不等式及其积分形式非负实数 ，1212,nnab 当 时，p 111()()(b)npppi i iii i ia当 时， 1p 111()(b)(b)nnnpppi i iii i iaa证明：同样的，只考虑一种情况即可（不妨为第一种）：令 q1111()()()ppnnnpii ii iii i iababab111() ()11nnnnpqpqp piii iiii ia 11()1 (nnnppqpi i iii i iabb（做 n 次归纳）11pnnpi ii i两边同时开 p 次幂即可】积分形式：当 时，11 1()()()gxbbbpppaaafxdgxdfd当 时，p11 1()()()gxbbbpppaaafxdgxdfd证明方法类似，取 即可，当然，对于 p=2 的情况，可以直接考虑两边n平方，再用柯西不等式。
