1、 2柯西中值定理和不定式极限 一 柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一 定式极限的问题 般的中值定理 本节用它来解决求不 二 不定式极限 返回 上满足 i f x g x 在闭区间 a b 上连续 iii iv 则在开区间内必定 至少 存在一点 使得 一 柯西中值定理 ii f x g x 在开区间 a b 上可导 几何意义 首先将f g这两个函数视为以x为参数的方程 它在O uv平面上表示一段曲线 由拉格朗日定理 恰好等于曲线端点弦AB的斜率 见下图 的几何意义 存在一点 对应于参数 的导数 证作辅助函数 显然 满足罗尔定理的条件 所以存在点 使得 即 从而 例1设函数f在区间 a
2、 b a 0 上连续 在 a b 证设 显然f x g x 在 a b 上满足 柯西中值定理的条件 于是存在 使得 变形后即得所需的等式 上可导 则存在 使得 在极限的四则运算中 往往遇到分子 分母均为无 二 不定式极限 究这类极限 这种方法统称为洛必达法则 称为不定式极限 现在我们将用柯西中值定理来研 比较复杂 各种结果均会发生 我们将这类极限统 穷小量 无穷大量 的表达式 这种表达式的极限 定理6 6 则 证 注 根据归结原理 结论同样成立 例 解 例2 解 存在性 这里在用洛必达法则前 使用了等价无穷小量的 代换 其目的就是使得计算更简洁些 例3 解 法则 但若作适当变换 在计算上会显得
3、更简洁些 例4 解 定理6 7 则 证 从而有 另一方面 上式的右边的第一个因子有界 第二个因子对固定 这就证明了 的x有 注 件要作相应的改变 例5 解 例6 解 例7 解 3 式不成立 这就说明 我们再举一例 例8 所以A 1 若错误使用洛必达法则 这就产生了错误的结果 这说明 在使用洛必达法 则前 必须首先要判别它究竟是否是 3 其他类型的不定式极限 解 但若采用不同的转化方式 很明显 这样下去将越来越复杂 难以求出结果 例9 解 由于 因此 例10 解 例11 所以 原式 e0 1 例12 解 例13 解 例14 证先设A 0 因为 根据洛必达法则 有 同样可证A 0的情形 所以由本章第 节例 得 为什么 由上面的讨论 得到 复习思考题
