1、1 主讲教师 李晓飞 线性代数 2 第一章 一 行列式的概念 三 行列式的计算 四 克莱姆法则 行列式 二 行列式的基本性质 3 第一节n阶行列式概念 一 二阶与三阶行列式 二 n阶行列式定义 4 一 二阶与三阶行列式 二元线性方程组 由消元法 得 得 同理 得 于是 当 时 方程组有唯一解 1 二阶行列式 5 由方程组的四个系数确定 定义 表达式 a11a22 a12a21 称为四个数字所确定的二阶行列式 其中 数aij i 1 2 j 1 2 称为行列式的元素 i为行标 表明元素位于第i行 为列标 表明元素位于第列 注 二阶行列式表示一个数 6 对角线法则 二阶行列式的计算 主对角线 次对
2、角线 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 7 8 因此 上述二元线性方程组的解可表示为 9 例1 1 解方程组 解 因为 所以 10 2 三阶行列式 类似地 为讨论三元线性方程组 引进三阶行列式的定义 11 另外三阶行列式也可按 对角线法则 求值 注意红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三个元素的乘积冠以负号 12 例1 2计算三阶行列式 解 13 对于三元线性方程组 若其系数行列式 可以验证 方程组有唯一解 其中 14 例1 3解线性方程组 解 15 故方程组的解为 自然的问题 这种方法是否适合高阶情形 16 表示由n2个数 按某种规则运算得到的一 个数 称之为n阶行列式 三 n阶行列式 排
3、成n行n列 的表构成的表达式 1 定义 n阶行列式是一个数 它是由n个n 1阶行列 式表示 17 按第一列展开 18 推广对n阶上三角行列式按第一列展开 例6计算 按第一列展开 19 作业 P101 1 2 3 2 20 一 行列式的性质 第二节 行列式的性质 第一章 二 利用行列式的性质计算行列式的值 21 一 行列式的性质 设 则称 为D的转置行列式 记为DT 22 即行列式D的值与其转置行列式DT的值相等 由性质1 行列式中行与列的地位是对称的 因此凡是有关行的性质 对列也是同样成立 性质1 例如下三角行列式转置行列式为上三角形 23 互换两行 列 行列式值变号 推论1行列式两行 列 相
4、同 则 这是因为 对换相同的两行 列 的对应 元素的位置后出现D D 性质2 行列式中i行 列 与j行 列 对应元素对调 记为 24 性质3 行列式的某一行 列 中所有元素的公 因子可以提到行列式记号的外面 推论2 25 如果行列式两行 列 对应成比例 性质4 则行列式的值为零 26 性质5 单行 列 可加性 例如 27 例1计算下列行列式的值 28 性质6 将行列式的某一行的每个元素乘以同 一数k后加到另一行对应元素上去 行列式 的值不变 行列式中j行 列 各元素乘以常数k加到 i行 列 对应元素上 记为 可以运用性质6 将某行列式化为上三角 行列式 从而求值 注意 29 例2计算下列行列式的值 30 性质7 31 计算行列式 例3 32 二 利用行列式的性质计算行列式 上下三角形行列式的值 对角线上元素之积 注意 此方法极其重要 它是计算行列式的一 个重要方法 且对学习以后各章有普遍意义 化三角形法 33 例5计算下列行列式的值 34 2 35 36 37 按第一列展开 例6 38 作业 P221 1 2 4 7 3 1
