1、第七章 图论-1,引言 7.1 图的基本概念 7.2 路与连通 7.3 图的矩阵表示 7.4 最短路径问题 7.5 图的匹配 8.1 Euler图和Hamilton图 8.2 树 8.3 生成树 8.4 平面图,7.2 路与连通,内容：图的通路，回路，连通性。 重点： 1、通路，回路，简单通路，回路,初级通路，回路的定义 2、图的连通性的概念 3、短程线，距离的概念。,7.2.1 路,1、路 (回路),中顶点和边的交替序列,，其中,(无向图)，,或,(有向图)，,始点，,终点，称,为,到,的路。当,时，,为回路。,7.2.1 路,2.简单通路、简单回路 边不同,简单通路 (迹)：路中所有的边都
2、不同,简单回路 (闭迹)：回路中所有的边都不同,复杂通路 (回路)：路（回路）中有重复的边出现,7.2.1 路,3.初级通路、初级回路 初级（基本）通路，初级回路：点不同,初级通路 (路径)：路中所有的顶点互不相同,初级回路 (圈)：回路中所有的顶点互不相同,7.2.1 路,例1、(1),例1、(1),长度3,长度6,长度6,7.2.1 路,例1、(1),初级通路,简单通路,复杂通路,7.2.1 路,例1、(2),长度3,长度4,长度7,7.2.1 路,例1、(2),初级回路(圈),初级回路(圈),复杂回路,7.2.1 路,5、图中最短的回路,如图：,无向图中，环构成的回路长为1 ，两平行边构
3、成的回路长为2。 有向图中，环构成的回路长为1，两条方向相反的边构成的回路长为2。,7.2.1 路,6、性质,定理：,推论：,证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会超过n-1条边。,7.2.1 路,6、性质,定理：,推论：,7.2.2 图的连通性,7.2.2 图的连通性,1、连通，可达。,无向图中，从,到,存在路，称,到,是,连通的(双向)。,2、短程线，距离。,短程线连通或可达的两点间长度最短的,路。,距离短程线的长度，,7.2.2 图的连通性,2、短程线，距离,(2),7.2.2 图的连通性,3、无向图的连通。,为连通图,是平
4、凡图，或,都是连通的。,中任两点,7.2.2 图的连通性,3、无向图的连通,结点之间的连通性是结点集V上的等价关系，对应该等价关系，必可将作出一个划分，把V分成非空子集V1, V2, , Vm,使得两个结点vj和vk是连通的，当且仅当它们属于同一个Vi 。把子图G(V1) , G(V2) , , G(Vm)称为图G的连通分支（connected components）,图G的连通分支数记为W(G) 。如上例中图 的连通分支个数就是2,7.2.2 图的连通性,4、有向图的连通,中任一对顶点都互相可达,(双向),中任一对顶点至少一,向可达,略去,中有向边的方向后,得到的无向图连通,强连通,单向连通
5、,7.2.2 图的连通性,例2,单向连通,弱连通,非连通图,7.2.2 图的连通性,5 图与顶点之间的若干关系 把度数为1的顶点称为悬挂点（ pendant nodes） 各顶点的度均相同的图称为正则图(regular graph),各顶点度均为k的正则图称为k-正则图。 删除结点：所谓在图中删除结点v，即是把v以及与v关联的边都删除。 删除边：所谓在图中删除某条边，即是把该边删除。 见P-282页的图7-2.2和图7-2.3。,7.2.3 图的连通度,定义7-2.4 设无向图G =是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后
6、,所得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。 k(G)=min|V1| 是G的点割集 称为图G的点连通度(node-connectivity) 。,v5,v1,v2,v4,v5,v1,v4,点割集V1=v2,7.2.3 图的连通度,定义7-2.5 设无向图G =是连通图,若有边集E1E，使图 G中删除了E1的所有边后，所得到的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得到的子图仍是连通图，则称E1是G的一个边割集(cut-set of edges) 。若某一条边就构成一个边割集，则称该边为割边或桥。 割边e使图G满足W(G-e)W(G) 。 边
7、连通度(edge-connectivity) (G)定义：非平凡图的边连通度为 (G)=min |E1| | E1是G的边割集 边连通度 (G)是为了产生一个不连通图需要删去的边的最少数目。对平凡图G可以定义 (G)=0，一个不连通图也有 (G)=0,7.2.4 二分图,例：,人员分配问题，某公司分配 个工人做 件工作。代表人的一组顶点用 表示，代表工作的一组顶点 用表示 。 与 相邻当且仅当工人 能做工作 ，从而 之间(Y 之间)无边。所得图称为二分图 。,一、 二分图定义 定义1： 的二分划 ，即 使 的每条边的两个端点一个在 中，另一个在 中。则称 是二分图或偶图， 称为 的二分划，记为
8、 。,7.2.4 二分图,我们可以验证下面三条成立,(1) 是 的一个划分； (2) 和 ； (3) 和 均为空图。 由以上三条可知， 为二分图。,7.2.4 二分图,图 是二分图当且仅当存在顶点集合的二分划 ，使 为空图； 当且仅当 不含长为奇数的回路； 当且仅当 的所有非平凡子图是二分图。,例：,的一个回路为 若 ，则 类似有 所以 而 ，故 是偶数。,利用第二个等价刻画即可。,7.2.4 二分图,定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。,证明 必要性是明显的。 充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子图）。任取
9、G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。设 V1v|vV(G),G中存在一条长度为偶数的u-v路 V2v|vV(G),G中存在一条长度为奇数的u-v路 显然uV1。由于图G中不存在长度为奇数的圈，所以对任一顶点v，G中所有从u到v的路的长度都有相同的奇偶性，因而V1V2 。由G的假设，V1V2V(G)。,7.2.4 二分图,现对G的每一条边e(u1,u2)，若u1,u2都在V1上，则存在两条路P1与P2分别连接u与u1和u与u2，且P1、P2的长度均为偶数，闭路P1P2e的长度为奇数，则不难看出G中有一条长为奇数的圈，矛盾。同样u1和u2不能同时含在V2中。故e的两个端点分别在V1和V2中。因此G是二分图。,
