1、第四章 随机变量的数字特征（第十五讲）, 1 数学期望 2 方差 3 矩,协方差及相关系数 4 大数定理和中心极限定理,数学期望的定义,随机变量函数的数学期望,数学期望的性质,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例1,解：,平均成绩为：,若用X表示成绩，则,一、数学期望定义,1） 离散型,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,设离散型随机变量X的分布律为：,若级数 绝对收敛，则称随机变量 X 的数 学期望存在，记作 EX，,且,数学期望也称为均值。,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,说 明,3).几种常见的随机变量的期望,3 几种期望
2、与方差,第四章 随机变量的数字特征,设 X 服从参数为 的泊松分布，,2）连续型,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,设连续型随机变量X的概率密度为 ，,若积分 绝对收敛，则称积分 的值为X的数学期望。,记为,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例4,例5:设某自动生产线加工的零件的内径X(毫米) 内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品,销售合格品获利,生产不合格品则亏损,已知利润T(元)与零件内径X有如下关系: 问平均内径 取何值时,销售零件的平均利润最大?,解:由题设知,所以T的分布律为,二、数学期望的性质,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,下面利用数学期望的性
3、质求超几何分布的期望,设N件产品中有M件次品,从中任意选n件, 求其中次品的数学期望,解:设次品数为X,显然,次品数 ,由于 服从两点分布 ,且,从而,1 数学期望,二、随机变量函数的数学期望,定理 1：,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，,(2)若 X 的概率密度为 f ( x )，,（1）若 X 的分布率为,定理 2：,第四章 随机变量的数字特征,若(X, Y)是二维随机变量，,(1) 若 ( X, Y ) 的分布律为,(2) 若(X ,Y)的概率密度为 f ( x , y ) ，且,g ( x , y) 是二元连续函数，,1 数
4、学期望,第四章 随机变量的数字特征,例7 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量 是随机变量 X（吨），X U2000,4000，每售出这 种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出 而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要 组织多少货源，才能使国家收益最大。,设 y 为预备出口的该商品的数量，则,用 Z 表示国家的收益（万元）,解：,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,下面求 EZ，并求 y 使 EZ 达到最大 值，,即，组织3500吨此种商品是最佳的决策。,例7(续）,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,本节小结：,1）数学期望的定义。,2）随机变量函数的数学期望。,3）数学期望的性质。,
