1、2.2.3两条平行直线间的距离【教学目标】1 .让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离2 .引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作重重点难点】教学重点：点到直线距离公式的推导和应用.教学又t点：对距离公式推导方法的感T与数学模型的建立【课时安排】1课时【教学过程】导入新课我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(X0,yo)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、BW0).图1推进新课新知探究提出问题已知点P(
2、xo,yo)和直线l：Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么 各种做法的优缺点是什么 ？前面我们是在 A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离 )活动：请学生观察上面三种特殊情形中的结论：16|勺十.|(i )xo=0,yo=0 时，d= %,且 + 力；(ii )xo w 0,0=0 时，d=+ 力 ;巴口十门r丁 -(iii )xo=0,yoWO时，d=外 国十史,观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,yo), d=?|j4为 Q + C
3、|学生应能得到猜想：d=.启发诱导：当点 P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)_l证明：设过点P且与直线l平行的直线li的方程为Ax+By+Ci=o,令y=0,得p 胃,0). 旧,(一争+。1_ |cq .p 中 、一 一.(*)- P 在直线 li:Ax+By+Ci=0 上， Axo+Byo+Ci=O.-. C尸-Axo-Byo.代入(*)得|P N=十,1 .% +珈 -即d= 、, *一,.可以验证，当 A=0或B=0时，上述公式也成立.引导学生得到
4、两条平行线li：Ax+By+Ci=0与l2：Ax+By+C2=0的距离d=上十$ .证明：设Po(xo,yo)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点 Po到直线Ax+By+Ci=0的距离为d= | 乂工口+为0 + C | .又 Ax+Byo+C2=o，即 Axo+Byo=-C2, d= 十力讨论结果：已知点P(xo,yo)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离公式为d=I5工口 机+门+ B2.当A=0或B=0时，上述公式也成立.两条平行线 Ax+By+Ci=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=月.应用示例例1求点Po(-1, 2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0
5、;(2)3x=2.解：(1)根据点到直线的距离公式得d= 总 + 1 也 .25(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|W-(-1)尸二；.点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A(a, 6)到直线3x 4y=2的距离等于4,求a的值.| %-4x6-2|6解：=4 = |3a-6|=20 .a=20 或 a= 3 .例 2 已知点 A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求 ABC 的面积.工解:设AB边上的高为h,则Saabc=- AB|h.AB|=JO7F1)J2 虎,AB边上的高
6、h就是点C至ij AB的距离.j - 3 _ 1AB边所在的直线方程为J？ - L即x+y-4=0.|-l-bO-4|_ 5点 C 至ij x+y-4=0 的距离为 h=+ 19,2/2*因此，Sa abc= ,X = = =5.点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练Vj 求过点A(-1,2),且与原点的距离等于2的直线方程.解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式，即可求出直线方程为x+y 1=0 或 7x+ y+ 5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在
7、直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3,0)，则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此，|2乂3 7乂7 + 2|_ 14 _ 14后d=点评：把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离变式训练求两平行线 li:2x+3y-8=0,l2：2x+3y-10=0 的距离.273答案： 拓展提升问题：已知直线l:2x-y+1=0和点0(0, 0)、M(0, 3),试在l上找一点P,使得|PO|-|PM|的值 最大，并求出这个最大值. 4 2解:点0(0, 0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为 O (-5,5),13则直线MO的方程为y-3= 4 x.811 直线MO与直线l:2x-y+1=0的交点P( 5 )即为所求，相应的|PO|-|PM|的最大值为|MO |=.课堂小结 通过本节学习，要求大家：1 .掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2 .构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3 .本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用 .作业课本习题 3.3 A 组9、 10； B 组 2、 4.
