1、财政收入预测问题摘要本文针对财政收入预测问题，建立了回归分析模型、灰色预测模型、阻滞增长模型， 并对其模型进行了误差分析，解决了 2010-2014年财政收入预测问题。模型一：为了预测2010年至2014年的财政收入问题，建立了回归分析模型，首先, 画出财政收入与各个因素的残差图，对残差图进行分析，将波动较大的点剔除；其次， 将财政收入与各个因素的数据分别进行拟合，判断出财政收入与各个因素之间为线性关系；再次，利用剔除后的数据进行拟合得出财政收入与各个因素之间的关系式：y = 0.3494x1 -0.4431x2 - 0.6322x3 0.0133x4 0.2112x5最后，将各个因素的数据与
2、时间进行拟合，得出其指数关系并将其带入到以上关系 式，预测出未来五年的财政收入，其预测结果如下：年份20102011201220132014财政收入（亿元）85189102274122759147314176742模型二：为了预测2010年至2014年的财政收入问题，建立了灰色预测模型，首先, 选if 2005年到2009年的各个因素的值进行处理，进行紧邻均值计算，求出发展灰数和 内生控制灰数，从而以求时间响应式，得出不同因素的预测值；其次，将后五年不同因 素的预测值代入模型一的关系式（财政收入与各个影响因素的关系式），预测后五年各个因素及财政收入的值如下表所示：年份国民收入（亿 元）工业总产
3、值 （亿元）农业总产值 （亿元）总人口（万 人）固定资产投 资（亿元）财政收入（亿 元）20104041741183702:41165134159237917858280201147148321023246624134845286161104340201255000124059352807135534344188126673 1201364159527533959810136226413982153602201474844231510367742136922497928186041模型三：首先，根据全世界经济情况可知，国家经济从低水平到向高度发达国家经济变化的过程中，财政收入的增加将逐渐趋于0
4、,由此可知国家财政收入的增长符合 S型增长曲线，采用S型曲线对影响国民收入的各因素进行拟合，以求得20010-2014年的各个因素的预测值；其次，结合模型一，得到财政收入的预测值如下：年份20102011201220132014财政收入（亿元）70844789068706795206103211最后，把各影响因素与时间的指数表达式，带入到模型一得出的财政收入关系式中， 得其财政收入为S型增长曲线，以此求出我国在 2048年进入发达国家，届时各个因素 及财政收入值如下表：年份国民收入（亿 元）工业总产值 （亿元）农业总产值 （亿元）总人口 （万 人）固定资产投 资（亿元）财政收入（亿 元）204
5、8102307447143158146146071341079185800模型四：结合模型一、模型二、模型三得出的结果进行误差分析， 最终得到模型 灰色预测模型较好。1.摘要写得不错！ 2。模型四没有做好，3。附录没有处理好4。整体相对不错！关键词：回归分析灰色预测阻滞增长财政收入误差分析MATLAB1问题重述1.1 已知信息财政收入由国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资等因素有关。1978-2009年的原始数据已给定（见附录 A）。1.2 问题提出问题一：构造回归预测模型并由此预测后五年的财政收入；问题二：构造灰色预测模型，预测出后五年各因素的预测值并带入问题一财政收的 预
6、测模型预测后五年的财政收入；问题三：构造阻滞增长模型，预测出后五年各因素的预测值并带入问题一财政收入的预测模型预测后五年的财政收入，并估计我国何年成为经济发达国家， 届时我国的各项因素值与财政收入值为多少；问题四：用相对误差和绝对误差相结合的办法对问题一、问题二、问题三进行误差 分析，并将问题一、问题二、问题三的财政预测结果进行比较分析，说明哪个结果更合理，并说明原因。2模型假设与符号说明2.1模型假设1 .财政收入受多方面因素的影响，波动较大的数据可以进行剔除；2 .后五年无重大的因素，影响财政收入。3 .题中所给数据来自权威部门公布，真实可信。2.2符号说明X1 :国民收入（元）；X2 :
7、工业总产值（亿元）；x3：农业总产值（亿元）；x4：总人口（万人）；X5 :固定资产投资（亿元）；t :年份的排序序号（1-37）;y :财政收入（亿元）；a：发展灰数；u：内生控制灰数；3问题分析3.1问题一的分析要求出后五年的财政收入就必须要知道各个因素与财政收入的 数学关系。=相关关 系首先，根据已知数据（见附录A利用MATLA睇出财政收入与各个因素之间的残差 图，对残差图进行分析将波动较大数据视为不符合回归模型的点将之剔除；其次，利用剔除后的数据，画出各个因素和财政收入之间的散点图，根据散点图进行拟合，求出财政收入与各个因素之间的数学关系；利用此关系对各个因素和财政收入 进行整体拟合，
8、求出其表达式。最后，画出各因素和时间的散点图，根据散点图进行拟合求出具表达式，将关系式代入整体拟合的关系式，用含有时间的表达式替换整体拟合关系式里的各因素，求出时 问和财政收入的关系式。3.1 更改后的问题一分析首先，根据已知数据（见附录A）利用MATLA睇出财政收入与各个因素之间的残差 图，对残差图进行分析将波动较大数据视为不符合回归模型的点将之剔除，作出财政收 入与各个因素之间的散点图，根据散点图及相关数据进行初步拟合，以求其相关关系。其次，根据财政收入与各个因素之间相关关系，设出财政收入与其影响因素之间的 回归方程，再依据附录 A数据进行拟合，以求出其相关系数。再次，求出判定系数r2以及
9、误差，进行拟合度的判断。然后，进行假设，检验y与x之间的关系。最后，根据求得的回归方程对 2010-2014年的财政收入进行预测。3.2 问题二的分析首先，对附录A每个影响财政收入的因素进行数据处理（后五年），作累加，进行 紧邻均值计算，以求出发展灰数和内生控制灰数，从而以求时间响应式。其次，利用时间响应式以求出各个年份的不同影响因素的预测值。最后，将后五年不同因素的预测值代入问题一得出的关系式（财政收入与各个影响因素的关系式），预测后五年财政的财政收入。3.3 问题三的分析首先，根据全世界经济情况可知，国家经济从低水平到向高度发达国家经济变化的过程中，财政收入的增加将逐渐趋于 0,由此可知国
10、家财政收入的增长符合 S型增长曲 线，采用S型曲线对影响国民收入的各因素进行拟合， 以求得20010-2014年的各个因素 的预测值。其次，结合问题一财政收入的预测模型，对财政收入进行预测。最后，利用所求的各因素曲线表达式，结合问题一财政收入预测模型，预测我国何 时进入发达国家。3.4 问题四的分析结合前三个问题的误差分析，将问题一预测的财政收入与问题二，问题三的预测结 果进行比较，以求哪个模型的预测结果更具有合理性。4模型的建立与求解4.1 模型一的建立与求解首先，根据题意，用给定的 19978-2009年的原始数据（见附录 A）,利用MATLAB编程作出残差图（程序见附录 B）如下：-10
11、000Residual Case Order PlotRedual Case Order PlotXResidual Case Order PlotRe目dual Case Order PlotResidual Case Order Plot8000600040002000-4000-6000-8000102030Case Numberd 0R-2000102030Case Number102030Case Number102030Case Number102030Case Number图1财政收入与各个因素的残差图由残差分析可得2009、2008、2007、2002、2001的数据为异常数据
12、，导致财政收入有较大的波动，因此将异常数据剔除。利用剩下的各个因素的数据与财政收入数据用MATLA褊程画出散点图如下（程序见附录 C）:4x 104 4x 1044x 1044x 104 x 1043.52.51.50.5国民收入103.52.51.50.5-t10工业总产值3.52.51.50.50150410农业总产值x 103.52.51.50.500.8JHI11.2总人口03.532.521.510.54051015固定资产投资x 10 41.451022图2剔除数据后财政收入与各个因素的散点图由图可见财政收入与各因素之间类似线性关系，为进一步确认其关系，分别进行线 性拟合（见附录D
13、）得其线性相关系数r2依次为0.9777,0.9777,0.8923,0.5417,0.9967, 可见除第四个线性关系较弱外，其余线性关系较强。可用线性关系进行整体拟合。其次，利用剔除后的数据运用 MATLAB!程进行整体线性拟合（程序见附录E）,得到 财政收入与各个因素的数学关系为：(Dy = 0.3494、-0.4431x2 - 0.6322x3 0.0133x4 0.2112x5再次，根据题意运用 MATLAB程画出时间与各个因素的散点图如下（程序见附录F）：图3时间与各个因素的散点图由图可见各因素与时间之间类似指数关系， 为进一步确认其关系，分别进行拟合（见 附录G）,得其相关系数r
14、2依次为0.992, 0.988, 0.979, 0.972, 0.989,确定其为指数 关系。设*=2/利用回归的方法算出X与t的方程，需将其转化成线性关系求解，分别对 两边取对数即得到lnx与t之间的线性回归关系：ln x = ln a bt lna =7943利用MATLAB编程（见附录H）即可求得 a1,且相关系数比较接近于1,bi =0.153说明回归平方和占总变差平方和的比例较大，回归直线与各观测点较接近，拟合程度较 高。进而得到a1=2815.8b1 =0.153同理可得：Ia2 = 1247.6b2 =0.155a3=1079.2 3b3 =0.114Ia4=97440.8b4
15、 =0.011a5=475.8 5b5 =0.189得到指数方程CC/LC 0.153tx1 =2815.8e得到指数方程7 c 0.155tX2 =1247.6e得到指数方程0.114tx3 =1079.2e得到指数方程0.011tx4 =97440.8e得到指数方程4-ri- c 0189tx5 = 475.8e(t=1,2.(t=1,2(t=1,2.(t=1,2.(t=1,2(2)(6)(5)最后，先将2010年至ij 2014年的序号33、34、35、36、37依次分别代入 、（3）、 （4）、（5）、（6）得到后五年的各个因素的值（见表一）。表一后五年的各个因素的值年份国民收入（亿元
16、）工业总产值（亿元）农业总产值（亿 元）总人口 （万人）固定资产投资 （亿元）201037662417790041439138552201390201151144824255352051141634293901201259600328321958336143200355044201369453833070365380144784428908201480936238614873275146386518138再将表二中的数据代入（1）式，得出后五年的财政收入如表二:表二2010-2014年财政收入年份20102011201220132014财政收入（亿元）851891022741227591473
17、14176742误差分析=格式没有处理好!用（2） （3） （4） （5） （6）式得出不同影响因素的预测值，然后与其真实值比较求的相对误差如表（见附录 MD ,由表可知，大部分相对误差不超过 1%且最大误差不超 过3%说明不同影响财政收入的因素与时间的关系拟合较好。将1978-2009年的各个因素的值带入（1）式得到一组模型求解所得值与真实值的 比较得出两者的相对误差（如表三）表三真实财政收入与模型求解所得值的误差年份真实财政 收入（亿 元）模型求解所 得值（亿元）相对误差 （%）年份真实财政 收入（亿 元）模型求解所得 值（亿元）相对误差 （%）1978113212529.58p99452
18、18600813.1511979114611893.621995624263581.82|1980116011862.19199674087124-3.991981117612606.671199786518422-2.72 11982121212936.2619989876100181.42198313671332-2.63119991144411374-0.62 1198416431469-11.8420001339513246-1.12198520051773-13.09：20011638615401-6.40 1198621221929-10.0120021890418171-4.03
19、198721992098-4.811200321715220291.43 -19882357273613.8520042639626087-1.18198926652452-8.691200531649319200.85199029372399-22.4320063876038535-0.58199131492941-7.07120075132247943-7.05 11992348337878.0320086133057808-6.0919934349496712.44200968477709563.49由表可知误差百分比最大为-22.43%,且误差在10%-20%间的有7年，虽不同影响财
20、政收入的因素与时间的关系拟合较好，但对财政收入拟合较差，可见回归模型效果不是 很好，有待改进。4.2 模型二的建立与求解首先，通过对附录 A的后五年数据（每个影响财政收入的因素）进行累加处理，做 紧邻均值，利用最小二乘法求出发展灰数 a和内生控制灰数u如下（编程见附录I）：a = -0.154一 a=-0.135tt （国民收入） ,（工业总产值）山=173527、u =88250a = -0.125u = 20698（农业总产值）a = -0.0051 :u = 130451a = -0.185u =87117（固定资产投资）其次利用以上得出a, u分别求得响应时间式如下: ?(1)(t 1
21、) = 559676e0.185t -470902 ?(t 1) = /)(t 1)-/)(t) ?(1)(t 1) = 741068e0.135t - 653703 ?(t 1) = /)(t 1)-?(1)(t) ?(t 1) = 188004e0.125t -165584 ?(0)(t 1) = /)(t 1)-?(1)(t)（总人口）（国民收入）（工业总产值）（农业总产值）（总人口）（固定资产投资）?(t 1) = 25709383e0.0051t - 25578627?(0)(t 1) = ?(% 1)-?(1)(t) ?(1)(t 1) = 559676e085t -470902?
22、(0) (t 1) = /)(t 1)-0)(t)最后，利用响应时间式分别求出2010-2014年国民收入，工业总产值，农业总产值, 总人口，固定资产投资的预测值，具体数值如下表四：表四2010-2014年各因素及财政收入预测值年份国民收入（亿 元）工业总产值 （亿元）农业总产值 （亿元）总人口（万 人）固定资产投 资（亿元）财政收入（亿 元）2010404174183702411651341592379178582802011471483210232466241348452861611043402012550001 240593P 528071355343441881266732013641
23、59527533959810136226413982153602201474844231510367742136922497928186041误差分析：根据4.2模型中的响应时间式求得2005-2009年预测值，与其真实值进行比较求的 得相对误差如下表：一年份20052006200720082009国民收入（亿元）真实值1840892131322592593028533434641预测值184089218263254611297012346475相对误差00.024074-0.01793-0.019290.008767工业总产值（亿元）真实值87365103162124799146183156
24、958 1预测值87365107097122563140264160520相对误差00.038144-0.01792-0.040490.022694 1农业总产值（亿元）真实值2242024040286273400035226预测值2242025015283323208936345 1相对误差00.040557-0.0103-0.056210.031766总人口 （万人）真实值130756131448132129132802133474预测值130756131445132124132799133477相对误差0-2.3E-05-3.8E-05-2.3E-052.25E-05固定资产投资(亿 元
25、)真实值88774109998137324172828194138预测值88774113680136731164458197806相对误差00.033473-0.00432-0.048430.018894 1由表可知误差百分比最大为5.621%,且只有一个，其余都小于5%,可见灰色预测 效果较好。4.3 模型三的建立与求解我国的国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资在起初增长慢，随着经济的发展增长加快，进入发达国家后其增长缓慢，渐渐趋于平缓，其过程类似S型增长曲线，下面我们对国民收入 k与时间t进行S型曲线拟合，其余同理可得： k由S型增长曲线进行配合得：X1 =一量(4.1
26、)a ibt1 e两边同时取对数，线性化得：1 +ea4bt = a +bt = ln(- -1)(4.2 )X1X1并令 Y =ln(- -1)X14.2式中含有a,b,k三个未知数，需从数据表中取出三组等距的点代入4.2式(取始点、(32,343464)得三元方程组:中间两点平均数、末点):(1,3645), (16.5,41684.5 ),a+b = ln(k 一 36453645a 16.5b =ln(k -41684.5)41684.5a 32b =ln(k - 343464343464解这个三元一次方程组，消去a,b得：N0N2*N1)2 =N；(kN0)(k刈)其中 No =36
27、45,Ni=41684.5,N2 =343464因此得出关于k的式子为：k1 三0,N1QN0N2 YN0N1 N1N2) N1QN0N2 - Ni(No N2)|k2 -2-2N0N2 -N12N0N2 - N12将N0 =566,N1 =4338,N2 =32074代入k2即为求出的k值k =1.026958 106k之后将求出的k值代入Y=ln( -1) ( Xi指19782009年的国民收入)Xia = Y Tb71时，财政收入不在随时间的增加而增加，稳定在1.858 m 105亿元处, 由此知我国在39年后的2048年步入发达国家行列，届时我国的各项因素值与财政收入 值如表：年份国民
28、收入（亿 元）工业总产值 （亿元）农业总产值 （亿元）总人口 （万 人）固定资产投 资（亿元）财政收入（亿 元）2048 1102307447143158146146071341079185800误差分析：国民收入，工业总产值，农业总产值，总人口，固定资产投资，财政收入以及其预 测值和相对误差如表：年份财政收 入预测财 政收入绝对误 差相对误 差（）年份财政收 入预测财 政收入绝对误 差相对误 差（）1978:11321274.6142.6312.61994P 52184907.3 1-194.07 -5.9 197911461303.6157.6313.7199562425837.9-310
29、.67-6.41980111601337.4177.3915.21996P 74086982.8 -404.12 1-5.7 1198111761377.7201.6717.1199786518383.6-425.16-3.11982112121426.7214.7217.71998P 987610087 -267.3912.111983:13671487.4120.368.819991144412143 ：210.62 :6.1198416431563.2-79.838-4.82000P1339514606698.7919.01198520051658.6-346.42-17.2200116
30、386175331211.37.0198621221779.2-342.82-16.1200218904209771146.910.9198721991931.8-267.18-12.12003:2171524987 2072.6 ：15.1 198823572125-231.97-9.8200426396296033271.812.11989 126652369.2-295.78-11.12005:3164934851 3207.1 ：10.1 1199029372677.2-259.84-8.8200638760407363201.75.11991 31493064.3-84.656-2.
31、62007P 5132247241 ；1975.71-7.9 1199234833549.566.4691.920086133054323-4081.1-11.4199343494154.9142.63-4.4200968477619131-7007.0-9.5由表可知最大的相对误差为17.7%,且相对误差在5%-10励较多，由此可见阻滞模 型拟合效果较差。4.4模型四的建立与求解由问题一误差分析中表三知：回归模型中误差百分比最大为-22.43%,且误差在10%-20%间的有7年，误差波动较大，可见回归模型效果不是很好，有待改进。由问题二误差分析表格可知误差百分比最大为 5.621%,且只有一
32、个，其余都小于5%,误差波动平缓，可见灰色预测效果较好，由问题三误差分析，最大相对误差为17.7%,且相对误差在5%-10%勺较多，误差波动较大，可见阻滞增长模型预测效果较差。综上所知，对财政收入采用灰色预测效果较好。4.4自改：模型四的建立与求解由模型一求得的5模型的评价与推广5.1模型的评价 优点1 .建立的模型能与实际紧密联系，并结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模 型更贴近实际，通用性、推广性较强。2 .模型中数据的不确定影响因素有很多，因此使用灰色预测法、回归分析、人口阻 滞模型三种方法求解目标数值，并经过比较选出最为准确的一种方法，使得所得数值更 具有准确性和说服力。3 .数据
33、来源据来自权威网站的公开数据，可信度很高。并且数据的处理利用了计算 机数学软件，严格地对模型求解，具有科学性。4 .采用的数学模型有成熟的理论基础，具有很强的可靠性。缺点1 . 一些数据中，我们对数据进行了必要的处理，如取整数据、舍弃数据等，这些方 法会带来一定误差。2 .社会中的随机性因素较多，使得该模型不能将其准确地反映出来5.2模型的推广本文建立的四个模型最终解决了由多个因素决定的财政收入问题，采用了多因素分层次解决问题的方法。因此，本模型还可应用与其他类似的由多因素决定单变量的确定 问题，如：工程预算、人口预测、国民生产总值的预测、城市最低生活保障金的确定等， 尤其对费率的粗略估算与预
34、测方面的问题，更是简便易行，效果明显。6参考文献1姜启源谢金星叶俊主编数学模型（第三版）高等教育出版社 2003.22孙祥徐流美吴涛编著MATLAB7.0基础教程清华大学出版社 2005.53吴建国主编数学建模案例精编中国水利水电出版社2005.54钱小军主编数量方法高等教育出版社1999.85吴振奎王全文主编运筹学中国人民大学出版社2006.27附录附录A1978-2009年的原始数据年份国民收入 （亿元）工业总产 值（亿元）农业总产 值（亿元）总人口 （万人）固定资产 投资（亿 元）财政收入（亿元）1978364517451026962595501132197940631914127097
35、542564114619804546219213729870556811601981489022561560100072961117619825331238317771016541200121219835986264619781030081369136719847244310623161043571833164319859041386725641058512543200519861027444932789107507312121221987120515252323310930037922199198815037658738651110264754235719891700172784266112
36、704441026651990187187717506211433345172937199121826910253421158235595314919922693711700586711717180803483199335260164546964118517130724349199448109224459573119850170425218199559811286801213612112120019624219967014333835140151223892291474081997780613754314442123626249418651199883024390041481812476128
37、406987619998847941034147701257862985511444200098001455561494512674332918133952001108068.49512157811276273721416386200211909653897165371284534350018904200313517462436173821292275556721715200415958773904214131299887047726396200518408987365224201307568877431649200621313210316224040131448109998387602007
38、25925912479928627132129137324513222008302853146183340001328021728286133020093434641569583522613347419413868477附录Bfunction cc()x=3645 1745102696259550 113240631914127097542564 114645462192137298705568 1160489022561560100072961 11765331238317771016541200121259862646197810300813691367724431062316104357
39、18331643904138672564105851254320051027444932789107507 3121 21221205152523233109300 3792 21991503765873865111026 4754 23571700172784266112704 4410 26651871877175062114333 4517 29372182691025342115823 5595 314926937117005867117171 8080 348335260164546964118517 13072 434948109224459573119850 17042 5218598112868012136121121
