1、专题层级快练(六十四)1(2021衡水中学调研卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点P(2，3)(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P作两条直线l1，l2，与椭圆C分别交于M，N(点M，N与点P不重合)两点，若l1，l2的斜率之和为1，求证：直线MN恒过定点答案(1)1(2)证明略解析(1)离心率e，椭圆C的方程可化为t.点P(2，3)在该椭圆上，13t，t4.椭圆C的标准方程为1.(2)证明：设直线MN的方程为ykxm(k不存在时不满足要求)，联立消去y并整理，得(4k23)x28kmx4m2480.(8km)24(4k23)(4m248)48(16k2m212)设点M(x1，y1)
2、，N(x2，y2)，x1x2，x1x2.设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k21，整理得(2k1)x1x2(m2k5)(x1x2)164m0，把代入上式得(2km3)(8km)0，m2k3或m8k.当m2k3时，直线MN过点P(2，3)，不符合题意，舍去；当m8k时，48(16k264k212)，由0，得k20.所以x1x2，x1x21.由抛物线的定义，知|AB|x1x228，所以x1x26，所以6，即k21，解得k1，所以直线l的方程为yx1或yx1.(2)证明：由(1)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点A关于x轴的对称点为D，所以D(x1，y1)，则直线BD的斜率为k
3、BD，所以直线BD的方程为yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y124x4x1.因为y124x1，y224x2，x1x21，所以(y1y2)216x1x216，即y1y24(因为y1，y2异号)，所以(y2y1)y4y124x4，所以直线BD的方程为4(x1)(y1y2)y0.由解得所以直线BD过定点(1，0)3(2021南充市测试)已知椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为，(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(2，1)的直线与椭圆E交于不同两点B，C.求证：直线AB和AC的斜率之和为定值答案(1)y21(2)证明略解析(1)由椭圆E经过点A(0，1)得，b1，设半焦距为c，
4、由离心率为得，又因为a2b2c2，所以a21，解得a2，故椭圆E的方程为y21.(2)因为直线BC过点P(2，1)且与椭圆E有两个不同交点，所以直线BC的斜率一定存在且大于零于是可设直线BC的方程为yk(x2)1(k0)代入x24y24并整理得(4k21)x28k(2k1)x16k(k1)0.8k(12k)24(14k2)(16k216k)64k0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设直线AB和AC的斜率分别为k1和k2，则k1k22k2k2k(2k1)1，为定值4(2020兰州市模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点A(2，2)，点B在抛物线C上，且满
5、足2(O为坐标原点)(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l与抛物线C交于M，N两点，OPQ的面积记为S1，OMN的面积记为S2，求证：为定值答案(1)y24x(2)证明略解析(1)设B(x1，y1)F，A(2，2)，2，x14p，y140，x14，y14.点B在抛物线C上，422p4，p2，y24x.(2)证明：由(1)知F(1，0)，由题意得直线l的斜率存在且不为零，设l：xmy1(m0)，代入y24x得y24my40，(4m)24(4)16m2160，y1y24m，y1y24，|y1y2|4.S1|y1y2|12，同理可得
6、S22，为定值5.已知椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，过点F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，椭圆E的下顶点为A，过点B(0，2)作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C，D两点，直线AD，AC分别交x轴于点H，G.求证：ABG与AOH的面积之积为定值，并求出该定值答案(1)y21(2)证明见解析解析(1)过点F1(1，0)且斜率为的直线方程为y(x1)，令x1，则y，由题意可得解得a22，b21，所以椭圆E的方程为y21.(2)由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为ykx2，设D(x1，y1)，C(x2，y2)，将ykx2代入y21，得(12k2)x28kx60，所以x1x2，x1x2，由16k2240，得k2，所以y1y2k(x1x2)4，y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，由题意知直线AD的方程为yx1，令y0，解得x，则H，同理可得G，所以SABGSAOH31.所以ABG与AOH的面积之积为定值，该定值为.
