1、1复数掌握 2 类复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可如 T 2.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把 i 的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化” 如 T 1.1(2019 全国卷 )若 z(1i) 2i，则 z()A 1iB 1iC 1 iD 1 iD由 z(1 i) 2i，得 z2i2i1 i2i 1ii(1i) 1i. 21i1i 1i故选 D.2(2019 西安质量检测 )设 i 是虚数
2、单位，复数 (ai)(1 2i) 为纯虚数，则实数a 为()A 2B 211C 2D.2B 因为 (ai)(1 2i) a2(2a1)i，且由题知其为纯虚数 ，所以a20，解得 a2，故选 B.2a10，3(2019 长沙模拟 )已知 i 是虚数单位，若3i1i，则 z 的共轭复数为 ()zA 1 2iB 2 4iC. 2 2 2iD 1 2iA 因为3 i1i ，所以 z 3 i 3 i1i24i12i， z 的共轭复z1 i1 i 1i2数为 1 2i，故选 A.3i ，则 |z|()4(2019 全国卷 )设 z12iA 2B.3C. 2D 1C z3 i3i 12i17i 5，12i1
3、2i1 2i |z|1 27 22.故选 C.5 5i5(2019 郑州第一次质量检测 )在复平面内表示复数 m i(m R，i 为虚数单位 )的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是 ()A (， 1)B (， 0)C (0， )D (1， )ii mi1mC 由题意， 21 2121i，因为在复平面内该复数对应mimmm的点位于第二象限 ，1m210，所以解得 m0，即 m (0， )，mm2 1 0，故选 C.2平面向量的线性运算解决平面向量问题的3 种常用方法(1)直接法求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析，则有利于问题的顺利获解这种解题思路，
4、我们不妨称之为按“图”处理 如 T 1，T 2.(2)建系法：处理有关平面图形的向量问题时，若能灵活建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性如 T3.(3)基底法：求解有关平面向量的问题时，若能灵活地选取基底，则有利于问题的快速获解理论依据：适当选取一组基底e1，e2，利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于e1，e2 的代数运算问题 如T 5.(1 一题多解 在 ABC 中，AD)为 BC 边上的中线，E 为AD的中点，则 EB31 A. 4AB4AC13 B.4AB4AC31 C.4AB4AC13 D.4AB4ACA 法一： (直
5、接法 )作出示意图如图所示 11111EBED DB AC AC)2AD2CB2 2(AB)2(AB3 1 4AB4AC.故选 A.法二： (建系法 )不妨设 ABC 为等腰直角三角形 ，且 A2，ABAC1.建立如图所示的平面直角坐标系，1 1则 A(0,0)， B(1,0)，C(0,1)，D 2，2 ，E 4，4 .11故 AB (1,0)， AC(0,1)，1，13， 1，(1,0)EB444431 即 EB 4AB4AC.2ABC 所在的平面内有一点P，满足 PAPBPCAB，则 PBC 与 ABC的面积之比是 ()1123A. 3B.2C.3D.4 C 因为 PAPBPCAB，所以
6、PAPBPCPBPA，所以 PC 2PA2S PBC2AP，即 P 是 AC 边的一个三等分点 ，且 PC AC，由三角形的面积公式可知，3S ABCPC2AC3.3一题多解 (2019 太原模拟 )如图，在正方形ABCD 中，M，N分别是 BC，CD 的中点，若 AC AMBN，则 ()8A 2B.368C.5D.5D 法一：以 AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系 ，如图所示，设正方形的边长为 1，11则 AM 1，2 ，BN 2， 1 ，AC(1,1)1 AC AMBN 2，2，11，6，2解得511，2，258 5，故选 D. 11法二：由 AM AB，BNA
7、D，得ACAMBN 2AD2AB2 AB2AD，又 AC AB AD，1621，解得5，8，故选 D.2，5 1，254(2019 贵阳监测 )已知向量 a(1,3)，b ( 2，k)，且 (a2b)(3a b)，则实数 k _. 6 a2b (3,32k)，3ab(5,9 k)，由题意可得 3(9k) 5(32k)，解得 k 6.5一题多解 在如图所示的方格纸中， 向量 a，b，c 的起点和终点均在格点 (小x正方形顶点 )上，若 c 与 xayb(x， y 为非零实数 )共线，则 y的值为 _6 法一：设 e1， e2 分别为水平方向 (向右 )与竖直方向 (向上 )的单位向量 ，则5向量
8、 c e1 2e2，a2e1e2，b 2e12e2，由 c 与 xayb 共线，得 c(xa2x y 1，yb)，所以 e1 2e2 2(x y)e1(x 2y)e2，所以 x2y 2，所以x3，x6y5 ，则y的值为5.2法二：建立如图所示的平面直角坐标系 ，则 a (2,1)，b(2，2)，c(1，2)，因为 c 与 xa yb(x，y 为非零实数 )共线，则 c(xayb)，其中 0，即12x2y ，x3，x 6解得5 ， y5. 2 x 2y ，y23平面向量的数量积两个向量夹角的范围是 0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角
9、时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线，如 T 3. ()1 一题多解 在 Rt ABC 中， C90，AC4，则 ABACA 16B 8C8D16法一：因为 2 16，选 D.AC，所以 AB |ABD cos A ABAC|AC| cos AAC 2法二： AB在AC上的投影为 |AB，故 |AC|cos A|AC|AB AC| |AB|cos AAC16，故选 D.2(2019 全国卷 )已知非零向量 a， b 满足 |a| 2|b|，且 (a b)b，则 a 与 b的夹角为 ()25A. 6B.3C. 3D. 6B 设 a 与 b 的夹角为 ， (ab)b， (ab) b 0，
10、即 ab|b|20.又 ab|a|b| cos ， |a|2|b|，221 2|b|cos |b|0， cos 2.又 0， 3.故选 B.3已知向量 a( 2， 1)，b(， 1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则的取值范围是 ()A. 1，2(2， )B (2， )2C. 1，D. ，122A 因为 a 与 b 的夹角为钝角 ，所以 ab 0 且 a，b 不共线，即 2 1 01且 20，故 的取值范围是2，2 (2， ) 24(2019 济南模拟 )设单位向量 e1，e2 的夹角为 3 ， a e1 2e2 ，b2e13e2，则 b 在 a 方向上的投影为 ()A 3 2 3B 2 3
11、3C.23 3D.32 3A由题意得 ， 121，e221，e12 1，ab(e12e2 1 3e212ee2) (2e)2e12 6e22 2169， |a| e12e2 2 e124e12 4e22 1 2 4 3，e e22e9b 在 a 方向上的投影为|b|cosa，bab 233|a|32.故选 A.一题多解已知为等边三角形， ，设点，ABCPQ 满足 APAB，5 AB2 3AQ (1)AC，R，若 BQCP2，则 ()11 2A. 2B. 21 1032 2C.2D.2A 法一 (向量法 )： BQAQAB(1 )AC AB，CPAPACAB ，又BQ 3，|AB ，AC 60，
12、AB |AB ACCP2|AC|2ABAC| |AC|cos 60 3 22 22，(1 )ACAB AC，即 |AB (1)AB(1 )|AC|( AB)2|AC32312，所以 42( 1)4(1)2，解得 2.法二 (坐标法 )：以点 A 为坐标原点 ，AB 所在的直线为 x 轴，过点 A 且垂直于AB 的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 (图略 )，设 A(0,0)，B(2,0)，C(1，3)， AB 3， ( 1(2,0)，AC(1， 3)， P(2， 0)，Q(1， 3(1)， BQ CP2321， 3(1) (2 1， 3)2，化简得 4410， 2.6(2019 郑州模拟 )已知向量 a 与 b 的夹角为 6，|a|1，|2ab|13，则 |b|_. ，与的夹角为3 24|a|23 3 b， ab由已知得 ，|a| 1 a62 |b|.|2a b|b|2 4ab13， |b|223|b|90， |b| 33.
