1、第 17 讲导数的综合应用1.函数 f(x)=x 3 +ax 2 +(a+6)x+1在(-2,2) 上既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围是.2.(2019江阴检测 ,14) 设函数 f(x)=x 3+ax 2-a 2x+1,g(x)=ax2 -2x+1, 其中实数 a0,若 f(x),g(x) 在区间(a,a+1) 内均为增函数 ,则实数 a 的取值范围是.3.(2018靖江高级中学高三年级阶段检测 )已知函数 f(x)=2f (1)ln x-x,则 f(x) 的极大值为.4.(2018江苏无锡检测 )若函数 f(x)=1sin( x)与函数 g(x)=x 3 +bx+c 的定义域为
2、 0,2, 且它们在同一4点有相同的最小值 ,则 b+c=.5.(2018江苏苏州调研 )已知直线 y=a 分别与直线 y=2x-2,曲线 y=2e x+x 交于点 A,B, 则线段 AB 长度的最小值为.?+2?,x 0,6.(2019苏州 3月检测 ,10) 若函数 f(x)= ?-ln?,? 0 在其定义域上恰有两个零点 ,则正实数 a 的值为.7.(2019扬州中学 3 月检测 ,14) 已知函数 f(x)=ax 2 -2x+ln x有两个不同的极值点 x1 ,x2,若不等式f(x 1)+f(x 2 )恒成立 ,则实数的取值范围是.8.(2018江苏姜堰中学、如东高级中学等五校高三上学
3、期第一次学情检测)已知函数 f(x)=e x-ex,g(x)=2ax+a,其中 e 为自然对数的底数 ,a R.(1) 求证 :f(x) 0;(2) 若存在 x0 R,使 f(x 0 )=g(x 0 ),求 a 的取值范围 ;(3) 若对任意的 x(- ,-1), f(x) g(x) 恒成立 ,求 a 的最小值 .9.(2019 南京、盐城期末 ,19) 若函数 y=f(x) 在 x=x 0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x) 的极值点 .设函数 f(x)=x 3-tx 2+1(t R).(1) 若函数 f(x) 在 (0,1) 上无极值点 ,求 t 的取值范围 ;(2)
4、求证 :对任意实数 t, 在函数 f(x) 的图象上总存在两条切线相互平行 ;(3) 当 t=3 时 ,若函数 f(x) 的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4, 问这样的平行切线共有几组?请说明理由 .答案精解精析181.答案( -,-3)5解析因为函数 f(x)=x3+ax 2+(a+6)x+1在(-2,2)上既有极大值又有极小值 ,所以 f2?= 4?- 12(a + 6) 0,(x)=3x 2+2ax+(a+6)=0在(-2,2) 上有两个不相等的实根 ,于是有- 2 - ?3 ?( 2) = 12 + 4?+ ?+ 6 0,解得 - 18 a0, 则 13解得 a1; a,?+ 1
5、 ,若 a0, f(x)递增 ;x (2,+ ), f (x)0, f(x)递减 ,所以 x=2 时, f(x) 取得极大值 ,即f(2)=2ln 2-2.14.答案- 413131解析因为函数 f(x)= 4 sin( x) 在0,2 上的最小值为 f( 2 ) = 4 sin ( 2 ) =- 4,3270,?=27,? ( ) =+ b =-1又 g(x)=3x 2 +b, 所以 24? 43273?1? b+c=- .?=134?( 2 ) =8 +2 + c = - 425.答案3+ln22解析由题意可设 A(x 1 ,a),B(x 2,a),?则 a=2x 1 -2,a=2 e 2
6、 +x 2 ,?+22e?1112 +? +2?|AB|=|x 1-x 2|= |- ?2- ?x-x+1, 则 f (x)=ex- , 令 f (x)=0,则22 -2 ?2 + 1| ,令 f(x)=e22 |= |2 |= |e2211113113+ln2x=ln 2 ,且 xln 2时, f (x)ln2 时, f (x)0, f(x)递增 ,则 f(x) min =f (ln 2 ) = 2 - 2 ln 2 =20,故线段 AB 长度的最小值为3+ln2 .26.答案1e解析当 x0 时, f(x)=x+2x, f(x) 在 (- ,0 上单调递增 , f(-1)=-1+2-1 0
7、,由零点存在性定理 ,可得 f(x) 在 (-1,0) 上有且只有一个零点 ;则由题意可得 ,当 x0 时, f(x)=ax-ln x有且只有一个零点 ,即 a= ln?在(0,+ )上有且只有一个实根 .令 g(x)= ln?(x0), 则 g(x)=1- ln?2,?当 xe 时,g(x)0,g(x) 单调递减 ;当 0x0,g(x) 单调递增 .1所以 g(x) 在 x=e 处取得极大值 ,也为最大值 ,且 g(e)= e ,1当直线 y=a(a0) 与 g(x) 的图象只有一个交点时,a= e .故 a= 1e.7.答案-3,+ )2解析f (x)=2ax-2+1 = 2?- 2x+1
8、 (x0).?因为函数有两个不同的极值点x1,x2 ,所以 2ax 2-2x+1=0有两个不相等的正根 ,?= 4- 8? 0,所以 ?111.+ ?2 =? 0,解得 0a 0,2122?所以 f(x 1 )+f(x2)2-2x 1+ln x 12=a ?1+a ?2-2x 2+ln x 2=a(x 1+x 2)2-2x 1 x2-2(x 1+x 2 )+ln(x 1 x2 )=- 1 -1-ln 2a.?令 h(a)=- 1 -1-ln 2a (0 ?0,?1故 h(a) 在 (0 , 2) 上单调递增 ,1故 h(a)h ( 2) =-3, 故-3.8.解析(1)证明 :令 f (x)=
9、e x-e=0, 得 x=1, 且当 x1 时, f (x)1 时 , f (x)0, 所以函数 f(x) 在(- ,1)上单调递减 ,在(1,+ )上单调递增 ,所以函数 f(x) 在 x=1 处取得最小值 .因为 f(1)=0, 所以 f(x) 0.(2) 设 F(x)=e x-ex-2ax-a, 题设等价于求函数F(x)有零点时 a 的取值范围 .当 a0 时 ,由 F(1)=-3a 0,F(-1)=e -1 +e+a0,所以 F(x)有零点 .e当 - 2a0;若 x0, 由(1) 知,F(x)-a(2x+1)0, 所以 F(x)无零点 .当a0,又存在x0 =1 - ?e+2?0,F
10、(x 0)1-(e+2a)x0-a=0,所以F(x)有零点 .综上 ,a 的取值范围是 ?|? - e 或 a 0 .2(3) 由题意得 ,a(2x+1) ex-ex,因为 x-1, 所以 ae ?- e?.2?+1?- e?设 G(x)= 2?+1 (x-1), 其值域为 A,e?e0, 所以 G(x)-e .由于 G(x)- ( - e ) = e - e?+ e=e +222?+122?+12? ?又 G(x)= 2?e - e 2- eG(-1)=-e-e ,1e记区间 ( - e- e ,- 2) =B, 则 A? B.设函数 H(x)=G(x)-m,mB,一方面 ,H(-1)=-e
11、-1e-m0;另一方面 ,H(x)=12?+1e x-ex-m(2x+1)=12?+1(e x-1)-(e+2m)x+1-m,存在 55 )=150,2?+e2?+e2?+e +15所以 ? x1 ( 2?+e,- 1) ,使 H(x 1)=0,即 G(x 1 )=m,所以 B? A. ee由 ,知 ,A=B, 从而 a- 2,即 a 的最小值为 -2 .9.解析(1)由函数 f(x)=x 3 -tx 2 +1, 得 f (x)=3x2-2tx.2由 f (x)=0, 得 x=0 或 x= 3 t.因为函数 f(x) 在(0,1) 上无极值点 ,所以 32t 0 或32t1,解得 t 0 或
12、t 3 .2(2) 证明 :令 f (x)=3x 2-2tx=p,即 3x 2-2tx-p=0,=4t 2 +12p.2存在两个不同的解 x1 ,x2.当 p- ?时 , 0, 此时 3x 2 -2tx-p=03易知这两条切线方程分别为232232y=(3 ?-2tx 1 )x-2 ?+t ?+1和 y=(3 ?-2tx2)x-2 ?+t ?+1.1112223232若两切线重合 ,则-2 ?+t ?+1=-2?+t ?+1,112222即 2(?1+x 1 x 2+ ?2)=t(x 1 +x 2),即 2(x 1 +x 2)2-x 1 x2 =t(x1+x 2 ).2?2?而 x1+x 2=
13、 3 ,则 x1 x2= 9 ,此时 (x1 -x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1 x2 =224? - 4?=0,99与 x1x2 矛盾 ,所以 ,这两条切线不重合 .综上 ,对任意实数 t, 在函数 f(x) 的图象上总存在两条切线相互平行 .(3) 当 t=3时 , f(x)=x 3 -3x 2 +1, f (x)=3x2-6x.由 (2) 知 x1+x 2=2 时 ,两切线平行 .设 A(x 132232,?-3 ?+1),B(x,?-3 ?+1),1122不妨设 x1 x 2,则 x11.232过点 A 的切线方程为 y=(3 ?-6x1 )x-2 ?+3 ?+1.111所以
14、 ,两条平行线间的距离3322d=|2? - 2? - 3(? -? )|=2122121+9 (? - 2? )11|(? - ? ) 2(?+?)2 - 2? -3(?+? )|=4,211212122-2? )21+9 (?11化简得 (x 1-1) 6 =1+9(x1 -1) 2-1 2,令 (x1-1) 2 = (0), 则3 -1=9( -1) 2,2-1)2,即(-1)( + +1)=9(2即(-1)( -8 +10)=0.2+10=0有两个异于 1 的正根 ,所以这样的值有 3 个.显然=1 为一解 ,-8因为 x1 -10, 所以 x1 的值有 3个,所以满足此条件的平行切线共有3 组 .
