1、第 2 讲平面向量一、选择题1.(2019 河南新乡二模 )已知 a=(1,2),b=(m,m+3),c=(m-2,-1),若 ab,则 bc=()A.-7B.-3C.3 D.7答案B若 ab,则 1(m+3)-2m=0, m=3, b c=m(m-2)-(m+3)=-3. 故选 B.2.(2019 安徽江淮十校 5月联考 )已知向量 a,b 满足 |b|=2|a|=1,a(a-b),则|2a+b|=()A.3 B.3C.6 D.61答案B由 a(a-b)且|b|=2|a|=1,得 a(a-b)=a2-a b=4 -ab=0,所以1221212( 2 )故选 B.ab=4 ,|2a+b|= 4
2、?+ 4? ?+ ?=4+ 4 4 + 1 =3.3.已知向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量 a,b 的夹角的余弦值为 ()A.310B.- 310C.2D.- 2101022答案C因为向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),所以 b=(2,0),则向量 a,b 的夹角的余弦值为1 2+1 0 222 = 2 .4.(2019 广东六校第一次联考 )在 ABC 中,D 为 AB 的中点 ,点 E 满足 ?=4?,则?)=(54B.45A.?-?-?633654D.45C.?+?+?6336答案A因为 D 为 AB 的中点 ,点 E 满足 ?所以1?4?所以=4?,?=,?=
3、 ,2?3? ?=?+=4+1=4(?+?)-1?=5-4,故选 A.323263如图 在圆C中点A,B在圆上则?的值 ()5.,?A. 只与圆 C 的半径有半B.既与圆 C 的半径有关 ,又与弦 AB 的长度有关C.只与弦 AB 的长度有关D.是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值答案C 如图 ,过圆心 C 作 CDAB, 垂足为 D,则? 12CAB=?=|?|?|cos2 |?|.所以 ?的值只与弦 AB 的长度有关 .6.已知在平面直角坐标系xOy 中 ,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3 三点共线且向量 ?与?向量3共线若=?=( ) 则 a=(1,-1),
4、?3 1+(1-?2,A.-3B.3 C.1 D.-1答案D设?则由题意知3 =(x,y),于是 ? 已知 ?=?)?则=(x,-x).+(1-, x+y=0, 3 3 1 2有 (x,- x)= (3,1)+(1-)(-1,3)=(4 -1,3-2),即 4?-1 = ?,所以 4-1+3-2=0,解得 =-1. 3-2?= -?,?则向量?7.已知 ?=(2,1),点 C(-1,0),D(4,5),在?方向上的投影为 ()?A.-3 2B.-35 C.32D.3522答案C因为点 C(-1,0),D(4,5),所以 ?=(5,5),?又?=(2,1),?所以向量 ?在?方?向上的?3 2?
5、15投影为 |?cos=? = .|52|?28.(2019湖南湘潭模拟 )在 ABC 中,|?+|=|?-|,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 的三等分点 ,则? ?)=(8102526A. 9 B.9C.9 D.9答案B由|?知?为坐标原点?的方向分别为 x 轴,y?以+?|=|?-|?, A,?,?,则 A(0,0),B(2,0),C(0,1), 不妨设E(4122轴的正方向建立平面直角坐标系3 ,3 ) ,F( 3,3 ),则?4 1228 210?=( 3 , 3 )( 3 , 3 ) =9 +9 = 9 .广东揭阳模拟已知是内一点?9.(2019)OABC? 且,?+?+?=0
6、,?=2BAC=60 ,则 OBC 的面积为 ()332A. 3B.3C. 2D. 3答案A?是ABC的重心于是S=3S.?+?+?=0, O, ABC?=2,OBC1|?|?|?| cos BAC=2, BAC=60,|?|?|?|=4.SABC =1|?|?|?|sinBAC= 3,23 OBC 的面积为3,故选 A.10.(多选 )已知等边三角形ABC 内接于 O,D 为线段 OA 的中点 ,则?=()21B.41A.?+?3?-?3661D.21?C.?+ ? ?+ ?333答案AC如图所示 ,设 BC 的中点为 E,则?1?1111?21?=?+?=?+=?+(?+?)=?-+2=+
7、.?3?33?3?3?6?故选 AC.二、填空题11?11.A(-1,2),B(2,8), ?=3?,?=-3?,则.已知点的坐标为答案 (-2,-4)解析设点 C,D 的坐标分别为 (x1,y1),(x 2,y2).11 ?由题意得 ?+1,y -2),?=(3,6),=(x?=(?-1-x 2,2-y2 ),?=(?-3,-6).11因为 ?,=3?,?=-3?1 + 1 = 1,-1- ?2 = 1,所以有 ?-2 =2和 2-? = 2.12解得 ? =0,? = -2,1和 2= 0.?1 = 4?2所以点 C,D 的坐标分别为 (0,4),(-2,0),从而 ?=(-2,-4).1
8、2.(2019 山东师大附中二模改编 )已知向量 a,b,其中 |a|=3,|b|=2,且(a-b)a,则向量 a 和 b的夹角是,a (a+b)=.答案66解析由题意 ,设向量 a,b 的夹角为 因.为 |a|=3,|b|=2,且(a-b)a,所以(a-b)a=|a|2-a b=|a|2 -|a|b|cos3=3-23cos =0,解得 cos =.又因为 0,所以 =.26则 a(a+b)=|a|2 cos=3+233=6.+|a|b|213.如图 ,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点 ,若?=?+,则 +=.答案531解析?=?+?,?=?+?=?+?,?=?-?,?2所以 ?
9、=?+?=(?1 ?(?-?)=(? + 2 ) +?-?= 1,41所以 ?解得 =,=2 + = 1,33 .5所以 +=.3?-)?+(?2 +)?,14.在如图所示的平面图形中,已知 OM=1,ON=2, MON=120,?=2?,?=2?,则?的?值为.答案-6解析解法一 :连接 OA.?=?-?=3?-3?=3(?-?)-3(?-)=3(?-?),? ?2 2)=3=3(?-?)?=3(?-|?|)=3 (21 cos 120 -1(-2)=-6.解法二 :在 ABC 中 ,不妨设 A=90,取特殊情况 ONAC, 以 A 为坐标原点 ,AB,AC 所在直线分别为 x 轴,y 轴建
10、立如图所示的平面直角坐标系.因为MON=120 ,ON=2,OM=1, 所以 O(2,33 35152 ) ,C(0,2) ,M( 2 ,0),B( 2,0) .故? ?15 331 315 9=( - 2 , 2 )( 2 ,- 2 )=- 4 -4 =-6.命题拓展预测1.在 ABC 中,E,F 分别为 AB,AC的中点 ,P 为线段 EF 上的任一点 ,实数 x,y 满足?+x?+y?=0.设 ABC, PBC,PCA,PAB 的面积分别为 S,S1,S2,S3,记?则 23取到最大值时的值为=i,2x+y()?(i=1,2,3),A.-1B.1 C.-3 D.322答案D 由题意 ,可
11、得 EF 是 ABC 的中位线 ,P 到 BC 的距离等于 ABC 中 BC 边上的高的一半 ,可得 S111由此可得 23? +?21即232 3(23)23=2S=S +S ,+ =2,2=16 ,当且仅当 S =S ,P 为 EF 的中点时 ,等号成立 ,此时 ?+?=0.由向量加法的平行四边形法则可得,?+?=2?,?+?=2?,两式相加 ,得?1,从而得到2?+?+?=0. ?+x ?+y?=0,根据平面向量基本定理 ,得 x=y= 22x+y=3.综上所述 ,当 23取到最大值时 ,2x+y 的值为 3.222.如图 ,在平面直角坐标系xOy 中,点 A( 3,1)在以原点 O 为圆心的圆上 .已知圆 O 与 y轴正半轴的交点为P,延长 AP 到点 B,使得 AOB=90 ,则?,|?+?|=.?=答案2 23解析由题可得圆 O 的半径 r=3 + 1=2,所以 P(0,2),则 AP 所在直线方程为 y-2=2 -1(x-0),0- 3即 y=-3 x+2.333设 B(?,-3 x + 2) ,则?=(3,1),?=(?,-3 x + 2) .?由 AOB=90 可得 ?=0,所以 3x-3233 x+2= 3 x+2=0,解得 x=-3,所以 B(-3,3),所以 ?=(3,-1),所以 ?=?3 3+1(-1)=2,|?+?|=|(2? 3,0)|=2 3.
