1、第一章基本初等函数2指数函数的图像及性质一、学习目标1 .理解指数函数的概念和意义 .2 .能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3 .初步掌握指数函数的有关性质.二、知识梳理1 .指数函数的定义一般地，函数y=ax（a0,且aw 1）叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是R.2 .指数函数的图象与性质a10 a 0 时，y1;当 x0 时，0vyv1;当 xv 0 时，y1在R上是增函数在R上是减函数三、典型例题知识点一指数函数的概念例1给出下列函数：y=2 3x；y=3x+ 1；y= 3x;y=x3;y=（2）x其中，指数函数的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 4答案
2、 B解析 中，3x的系数是2,故不是指数函数；中，y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x,故不是指数函数；中，3x的系数是1,哥的指数是自变量 x,且只有3x一项，故是指数函数；中，y=x3的底为自变量，指数为常数，故不是指数函数.中，底数2V0,不是指数函数.规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：（1）底数a为大于。且不等于1的常数；（2）指数位置是自变量x; （3）ax的系数是1.2.求指数函数的关键是求底数a,并注意a的限制条件.跟踪演练1若函数y=(4 3a)x是指数函数，则实数 a的取值范围为 答案a|a0,4 3aj解析 y=(4 3a)x是指数函数，需满足：一 一 4
3、 一解得av,且aw 1.3故a的取值范围为a|ad1, bvav1.bv av 1 v d v c.方法二 作直线x=1,与四个图象分别交于 A、B、C、D四点，由于x= 1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知bva1vdvc.故选B.规律方法1.无论指数函数的底数 a如何变化，指数函数 y=ax（a0, awl）的图象与直线x= 1相交于点（1, a）,由图象可知：在 y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.2.处理指数函数的图象：抓住特殊点，指数函数图象过点（0,1）;巧用图象平移变换；注意函数单调性的影响.跟踪演练2 函数y=|2x 2
4、的图象是（）（2）直线y=2a与函数y=|ax- 1|（a0且aw 1）的图象有两个公共点，则 a的取值范围是 . ，1答案（1）B （2）0a1时，在同一坐标系中作出函数y=2a和y= |ax- 1|的图象（如图（1）.由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解.当0V a0且aw 1）的图象有两个交点，由图象可知0v2av1,所以0V a0,且yw 1.(2)由 12x0,得 2xw 1,x-4,.2 x2 2x 30,1 2故函数y= 2 x 3的值域为(0,16.规律方法对于y=af(x)(a0,且aw 1)这类函数, (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围;(2)值域问题，
5、应分以下两步求解：由定义域求出u = f(x)的值域；6 / 10利用指数函数y= au的单调性求得此函数的值域.跟踪演练3（1）函数出力:严乃+1w的定义域为（A. (-3,0 B. (3,1C.(巴 3)U(3,0 D.(巴 3)U(3,11(2)函数 f(x)=鼻 x 1 , xC 1,2的值域为 . 3答案（1）A （2）-8, 2 91 -2x 0, 解析（1）由题意，自变量x应满足x+30,x 3,1181 8 一（2） . - 1x2,90且aw1，故选D.3 2, y= 4 x的图象可能是（）答案 C解析0v3v 1且过点（0,1）,故选C.43, y=2x, xC1, +8)
6、的值域是()A. 1 , +8) B. 2, +8)C. 0, 十)D. (0, 十)答案 B解析 y=2x在R上是增函数，且21 = 2,故选B.4.函数f(x)=ax的图象经过点(2,4),则f(3)的值是.,1答案8解析 由题意知4 = a2,所以a = 2,因此f(x)=2x,故f(-3)=2 3=1.81 .5,函数y= 2 x21的值域是 .答案 (0,2解析x2- 1 - 1,y= 2 x 1 w 2 1 = 2,又 y0,，函数值域为(0,2.1 .指数函数的定义域为(一00, +OO )，值域为(0,+8),且f(0)=1.2 .当a1时，a的值越大，图象越靠近 y轴，递增速
7、度越快.当0vav1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.五、巩固练习1, y=211的定义域是()A . ( 8, +OO ) B. (1 ,)C. 1 , +8 ) D. (0,1) U(1 , +8 )答案 A解析 不管x取何值，函数式都有意义，故选 A.2,已知集合 M = 1,1, N= x 2V2X+1V4, xCZ ，则 M n N 等于()A. 1,1 B. -1 C. 0 D. 1,0答案 B.1,上一解析-2 2x1 4, .1.2 1v2x 1V22,.1vx+ 1v2,2vxv 1.又.xe Z, . .*=0或*= - 1,即 N=0, - 1,M n N
8、= - 1.3 .函数y=2x+1的图象是（）答案 A解析 当x= 0时，y=2,且函数单调递增，故选 A.4 .当 xC 2,2)时，y=3 x- 1 的值域是()A.(9, 8 B- - 8 99C (9，9) D. 9, 9答案 A解析y=3 x- 1, xC 2,2)上是减函数，3 2-1y0)的图象经过点(2, 2),其中a0且aw1.(1)求a的值；(2)求函数y=f(x)(x0)的值域. 7 / 10解(1).f(x)的图象过点(2, 2),l- a2 1 = 2，贝U a = 2.1 丫(2)由(1)知,f(x) =(2)x 1, x 0.由 x0,得 x 1 1,于是 00)
9、的值域为(0,2.8 .函数y=5x的图象是()答案 D解析 当x0时，y=5一凶=5一x=(5)x,又原函数为偶函数，故选D.2x, x0,9 .已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于()x+ 1 , x0, . aw。，.但)=2+1 = 2,故 a=3,，选A.10 .方程|2x1|=2有唯一实数解，则 a的取值范围是 .答案a|a1,或 a=0解析 作出y=|2x1|的图象，如图，要使直线y= a与图象的交点只有一个，2封1或2= 0.10 / 101 c11.求函数 y=(2)x22x+2(0WxW 3)的值域.1 ,解 令 t=x22x+2,则 y=(2)t,
10、又 t= x2 2x+ 2= (x 1)2+ 1,0 x0,且aw1)在区间1,2上的最大值比最小值大 2,求a的值.解 若a 1,则f(x)是增函数，f(x)在1,2上的最大值为f(2),最小值为f(1).f(2)-f(1) = a，即 a2-a=2.解得a = 3.若0vav 1,则f(x)是减函数，f(x)在1,2上的最大值为f(1),最小值为f(2),.f(1)-f(2) = 2,即 a-a2 = |,1解得a = 213综上所述，a = 2或a=3.1x -13.设0WxW2, y = 4 2 3 2x+5,试求该函数的最值.解令 t=2x,0x 2,1 t4.则 y=22x 13 2x+5=gt23t+ 5.一 1 八 1 一又 y=2（t3）2+2，tC1,4,1 一 1.y=1（t3）2+2 te 1,3上是减函数；te 3,4上是增函数, 一 1, 一5.当 t = 3 时，ymin = 2 ；当 t = 1 时，ymax=.51故函数的最大值为5,最小值为2.
