1、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,主要内容1、柱面2、锥面3、旋转曲面4、椭球面5、双曲面6、抛物面7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线,第一节 柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,设柱面的准线为,母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点M1的母线方程为,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3),从（2）（3）中消去x1,y1,z1得,F(x,y,z)=0,这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的柱面的方程。,柱面举例,抛物
2、柱面,平面,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 母线/ 轴,双曲柱面母线/ 轴,抛物柱面母线/ 轴,例1、柱面的准线方程为,而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。,例2、已知圆柱面的轴为,点（1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。,定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。,证明：我们不妨证明方程 是母线平行于Z轴的柱面。 取曲面 与xOy面的交线作准线，z轴的方向 为母线的方向，来建立柱面方程。 任取准线上的一点 ，过 的母线 方程为 取曲面而母线的方向数为-1，0，
3、1，求这柱面的方程。,即,又因为点 在准线（1）上，所以又有将（2）代入（3）消去参数 ，得到所求的柱面方程为同理， 与 分别表示母线平行于X轴和y轴的柱面。 方程 分别表示椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面。,2.空间曲线的射影柱面,设空间曲线为依次从（1）中消去一个元，可得任取其中两个方程组成方程组，比如,那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而,曲面 与曲面 都通过已知曲线（1）同理方程 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 称为空间曲线（1）对xOy坐标面的射影柱面，而曲线称为空间曲线（1）在xOy坐标面上的射影曲线。 同理，曲面 与曲面 分别叫
4、做方程（1）对xOz坐标面与yOz坐标面射影的射影柱面,而曲线,与曲线分别叫做曲线（1）在xOz坐标面与yOz坐标面上的射影曲线。例：从方程组消去y，得 ，这就是空间曲线L在,xOz面上的射影柱面，曲线 为曲线L在xOz坐标面上的射影曲线,从方程组消去z，得 ，这就是空间曲线L在xOy面上的射影柱面，曲线 为曲线L在xOy坐标面上的射影曲线曲线L也可以看成是,作业P147:1,3,8(1),(2),第二节 锥面,一、锥面,1、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。,2、锥面的方程,设锥面的准线为
5、,顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，则锥面过点M1的母线为：,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 （3）,从（2）（3）中消去参数x1,y1,z1得三元方程,F(x,y,z)=0,这就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面方程。,例1、求顶点在原点，准线为,的锥面的方程。,答：,（二次锥面）,例2：已知圆锥面的顶点为（1,2,3），轴垂直于平面2x+2y-z+1=0，母线与轴成 角，试求这圆锥面的方程。 解：设 为任意母线上的一点，那么过点的母线的方向向量而在直角坐标系下，圆锥面的轴线的方向就是平面 的法向量，即为 有整理得,2
6、x+2y-z+1=0,定理 4.2.1 一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。,齐次方程：,设为实数，对于函数f(x,y,z)，如果有,f(tx,ty,tz)=tf(x,y,z),则称f(x,y,z)为的齐次函数，f(x,y,z)=0称为齐次方程。,例如，方程 x2+y2-z2=0,圆锥面,又如，方程 x2+y2+z2=0,原点（虚锥面）,作业:P151:2,3,5,第三节 旋转曲面,一、. 旋转曲面,1、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的轴.曲线C称为旋转曲面的母线,二、旋转曲面的方程,在空间坐标系中，设旋
7、转曲面的母线为：,旋转直线为：,其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴L的方向数。,设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中心，|P0M1|为半径的球面的交线。,所以过M1的纬圆的方程为：,当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。,又由于M1在母线上，所以又有：,从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一个三元方程：,F(x,y,z)=0,这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。,例1、求直线,绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。,解：设M1(x1
8、,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过M1的纬圆方程是：,又由于M1在母线上，所以又有：,即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：,2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。,三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：,已知yoz面上一条曲线C, 方程为 , 曲线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面.,设M1(0, y1, z1)是C上任意一点, 则有f( y1, z1) = 0,当C绕 z 轴旋转而M1随之转到M (x, y, z)时, 有,将z1 = z, 代入方程f( y1, z1) = 0,得旋转曲面的
9、方程:,即,规律：,当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。,解,圆锥面方程,例2: 求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.,解: 将 y 用 代入直线方程, 得,平方得:,z2 = a2 ( x2 + y2 ),该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.,例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,（单叶）,（双叶）,例4、将圆,绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。,解：所求旋转曲面的方程为：,即：(x2+y2+
10、z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2),该曲面称为圆环面。,旋转椭球面,旋转抛物面,（长形）,（短形）,作业:P158:1(1),(4),第四节 椭球面,二次曲面的定义：,三元二次方程,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的平面截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,一、基本内容,所表示的曲面称之为二次曲面,ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0,2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆,当
11、 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;,当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.,二. 几种常见二次曲面.,（一） 椭球面,1 用平面z = 0去截割, 得椭圆,3 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得椭圆:,特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原点o, 半径为a的球面.,4.5 双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,双曲线的中心都在
12、 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,截痕为一对相交于点 的直线.,截痕为一对相交于点 的直线.,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得双曲线.,单叶双曲面图形,平面 的截痕是两对相交直线.,双叶双曲面,4.6 抛物面,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 不相交.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得抛物
13、线.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,图形如下：,例1：作出球面 与 旋转抛物面 的交线。,例2：作出曲面 与平面 ，三坐标面所围成的立体在第一卦象部分的立体图形。,作业:P168:3,5P175:2,4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线,定义：由一族直线生成的曲面叫做直纹曲面。 柱面，锥面都是直纹曲面。单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹曲面。 考虑单叶双曲面：其中a，b，c为正常数，把（1）改写成,现在引进不等于零的参数u，并
14、考察由上式得来方程组与两个方程组,U族上直线中的任何一条直线上的点都在曲面（1）上。反过来，也可以证明曲面（1）上的任一点，一定在u族直线中的某一条直线上。 设 是曲面（1）上的一点，有,显然 与 不能同时为零，不妨假设如果 ，那么去u的值使得由（5）便得所以点 在直线（3）上。如果 ，那么由（5）知必有 ，所以点 在直线（4）上，因此曲面上任,上任一点 ，一定在u族直线中的某一条直线上。 这就证明了曲面（1）是由u族直线所生成，因此单叶双曲面（1）是直纹曲面，而u族直线是单叶双曲面（1）的一族直母线，称为u族直母线。 同样可以证明由直线（其中v为不等于零的任意实数）与另两条直线,与合在一起组
15、成的直线族是单叶双曲面（1）上的另一族直母线，称它为单叶双曲面（1）的v族直母线。,推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点。,对于双曲抛物面同理可以证明它有两族直母线（图4-26），它们的方程分别是,或者推论 对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点。,单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有如下的性质： 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面；任意两条同族的直母线必是异面直线。 定理4.7.2 双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交；同族的任意两条直母线必是异面直线，且同族的全体直母线平行于同一个平面。 证明：书上证明定理4.7.1的前半部分。现证后半部分。任取同族两条直母线,与改写成,行列式,所以，直母线 与 异面。 例：求过单叶双曲面 上的点（6,2,8）的直母线方程。 解：单叶双曲面的两组直母线方程是 与,将点（6,2,8）分别代入上面两个方程，有 与所以，经过点（6,2,8）的异族直母线方程为 与即 与,作业:P181:1（1）；2（2）P182:3,
