1、高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1 23 4 99 100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1 100 2 99 3 98 4952 5051。1 100 正好可以分成这样的50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（ 1+100） 1002 5050。小高斯使用的这种求和方法， 真是聪明极了， 简单快捷， 并且广泛地适用于 “等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末
2、项。 后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（ 1） 1， 2， 3， 4， 5， 100；（ 2） 1， 3， 5， 7， 9， 99；（ 3） 8， 15， 22， 29， 36， 71。其中（1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列；（ 2）是首项为 1，末项为 99，公差为 2 的等差数列；（ 3）是首项为 8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项 +末项）项数 2。 例 1 1 2 3 1999？分析与解：这串加数 1， 2， 3， 1999 是等差数列，首项是1，末项是1999，共
3、有 1999个数。由等差数列求和公式可得原式 =（ 1 1999） 1999 2 1999000。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例 2 11 12 13 31？分析与解：这串加数 11，12，13， 31 是等差数列，首项是 11，末项是 31，共有 31-11 1 21（项）。原式 =（ 11+31） 21 2=441。在利用等差数列求和公式时， 有时项数并不是一目了然的， 这时就需要先求出项数。 根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数 =（末项 - 首项）公差+1，末项 =首项 +公差（项数-1 ）。例 3 3 7 11 99？分析与解： 3
4、， 7， 11， 99 是公差为4 的等差数列，项数 =（ 99 3） 4 1 25，原式 =（ 399） 25 2 1275。例 4 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。解：末项 =25 3（ 40-1 ） 142，和=（ 25 142） 40 2 3340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例 5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12 厘米 2，边长是 1 根火柴棍。问： （ 1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8 层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数
5、目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：（ 1）最大三角形面积为（ 1 35 15） 12（ 1 15） 8 2 12 768（厘米 2）。2）火柴棍的数目为3 69+ +24（ 3 24） 8 2=108（根）。答：最大三角形的面积是768 厘米2，整个图形由108 根火柴摆成。例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3 只球后放回盒子里； 第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3 只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3 只
6、球，实际上多了2 只球。第一次多了2 只球，第二次多了2 2只球第十次多了2 10 只球。因此拿了十次后，多了2 1 2 2 2 10 2（ 12 10） 2 55 110（只）。加上原有的3 只球，盒子里共有球110 3 113（只）。综合列式为：（3-1 ）（ 1 2 10） 3 2（ 1 10） 10 2 3 113（只）。练习1. 计算下列各题：（ 1） 2 4 6 200；解：项数 =（末项 - 首项）公差 +1=（ 200-2 ） 2+1=1和=（首项 +末项）项数2，所以 2 4 6 200=（ 2+200） 100 2=10100（ 2） 17 19 21 39；解：项数 =（
7、末项 - 首项）公差 +1=（ 39-17 ） 2+1=12和=（首项 +末项）项数2，所以 17 19 21 39=（17+39） 12 2=336（ 3） 5 8 11 14 50；解：项数 =（末项 - 首项）公差 +1=（ 50-5 ） 3+1=16和=（首项 +末项）项数2，所以 5 8 11 14 50=（ 5+50） 16 2=24200（ 4） 3 10 17 24 101。解：项数 =（末项 - 首项）公差 +1=（ 101-3 ） 7+1=15和=（首项 +末项）项数2，所以 3 10 17 24 101=（ 3+101） 15 2=7802. 求首项是 5，末项是 93，
8、公差是 4 的等差数列的和。解：项数 =（末项 - 首项）公差 +1=（ 93-5 ） 4+1=23所以，和 =（首项 +末项）项数 2=（ 5+93） 23 2=11273. 求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和。解：末项 =首项 +公差（项数 -1 ） =13+5（ 30-1 ） =158所以，和 =（首项 +末项）项数2=（ 13+158） 30 2=25654. 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？解：有题可知， 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，时钟整点敲打的次数构成了首项为1，末项为12，公差为1 的
9、等差数列： 1， 2， 3， 4， 5， 12。那么时钟每小时整点敲打的次数的和=（首项 +末项）项数2=（ 1+12） 12 2=78；因为每半点钟也敲一下，所以半点钟敲打总次数为12，所以时钟每小时共敲打78+12=90 次；所以时钟一昼夜敲打次数为90 24=21605. 求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。解： 100 以内除以 3 余 2 的数有，（ 1 3+2），（ 23+2），（3 3+2），（ 32 3+2）；构成了首项为 5，末项为 98，公差为 3 的等差数列，因为，项数 =（末项 - 首项）公差+1=（ 98-5 ） 3+1=32所以，和 =（首项 +末项）项数2=（ 5+98） 32 2=16486. 在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？解：十位数比个位数大的数中，十位数为10 的有 1 个： 10；十位数为 2 的有 2 个： 20,21 ；十位数为 3 的有： 30,31,32 ；十位数为4 的有 4 个： 0,41,42,43；以此类推，十位数为9的有 9 个： 90,91,92,93,94,95,96,97,98。因此则构成了首项为1，末项为 9，公差为1 的等差数列。因为和 =（首项 +末项）项数 2=（ 1+9） 9 2=45所以十位数比个位数大的数共有45 个。
