1、一、（ 10 分）设 d ( x, y) 为空间上的距离。证明d (x, y)d( x, y)1d ( x, y)也是上的距离。1、 求证 lX ,Y为 B 空间。（其中 X 为 B*空间， Y 为 B 空间）2、 S 是由一切序列xx1, x2 , xn ,组成的集合，在 S 中定义距离为x, y1xnyn，求证 S 是一个完备的距离空间。2 n1xnynn13、 Hilbert空间 X 中的正交投影算子为线性有界算子。4、 附加题开映射定理 (P 92 )设 X ,Y 都是 B 空间，若 TlX ,Y是一个满射， 则 T 是开映射。Hahn Banach 延拓定理 ( P110 )设 X
2、是 B* 空间， X0是 X 的线性子空间， f 0 是定义在 X 0 上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函f 满足：1fxf0xxX 0延拓条件；2ff 00保范条件，其中f 0 0 表示 f 0 在 X 0 上的范数。闭图像定理 ( P98 )设 X ,Y 都是 B 空间， 若 T 是 XY 的闭线性算子， 并且 D T是闭的，则 T 是连续的。共鸣定理 ( P99 )设 X 是 B 空间， Y 是 B* 空间，如果WlX ,Y,使得s uAxpxX，那么存在常数M ，使得A WAMA。W五、（ 10 分）在 C0,1f , gL0,1,f , g1上定义内积：f ( x)g ( x
3、) dx0（1）如果 f (x) x2x1 , 求 | f | ；61（2）证明任一函数g( x)abx 都正交于f (x) x2x。6六、（ 10 分）设 M 为 Hilbert空间的闭子空间， 证明对每个 x必存在唯一的 x0M ,有x x0inf x yy M01(C 1,1)* , 且求 f 。七、（ 15分）设 f ( x)x(t)dtx(t) dt ，求证： f10八、（ 15分）简答题1. 试说明 C a, b 与 L2 a, b 中函数的差异；2. 泛函分析也称无穷维分析，为什么要研究无穷维分析，试举例说明；3. Hilbert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要
4、说明。一、在 C 1,1 上定义内积f , g1f ( t) g( t) dt,若记 M 为 C 1,1 中奇函数全1体， N 为 C 1,1中偶函数全体，求证： M N C1,1, 且 MN 。设 L 为内积空间 H 中的一个稠密子集，且 x L ，证明 x。二、在 R 中赋予距离(x , y )问)是完备空间吗？为什| arctan x arctany |, (R,么？设 Tx(t)t 2 x(t), 若 T是 从 L2 0,1L10,1 的 算 子 ， 计 算 |T|; 若 T 是 从L2 0,1L20,1 的算子再求 | T | 。四论述题：1、证明 Ca, b 完备，并叙述证明空间完
5、备的一般步骤。2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。3、证明 | x | max x(t ) 为 ca,b 上范数，并论述证明范数的一般步骤。t a ,b设 H 是内积空间，xn , x, yn , yH，则当xnx, yny 时，( xn , yn )(x, y)，即内积关于两变元连续。7. 证 明 ： 设 e1,e , . .e. , 2 n是Hilbert空 间 中 的 一 个 标 准 正 交 集, 令Mspane1, e2,., en ,如果P 是 H到M上的正交投影算子,则xH ,有nPxx, ekek。k 13. 设 M 是 Hilbert空 间 H 的闭 线 性 子 空 间 ， hH ， 且 f 0M 是 满 足h f0 d (h, M )i n f xh 的唯一元素，那么， hf 0 M 。z M4.设 X 是内积空间 , e: n N 是X中的标准正交系,则对任意的成立nx X ,Bessel不等式 :x, en22x.n 17. 证 明 ： 设 e1,e2, . . . , 是Hilbert空 间 中 的 一 个 标 准 正 交 集,令enM spane1, e2 ,., en ,如果 P 是 H 到 M 上的正交投影算子 ,则 xH ,有nPxx, ek ek 。k 1
