1、1、如图，Rt ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC , D 是 AC 的中点，AEBD 交 BC 于 E, 连接 ED,求证；/ ADB= Z CDE2、正三角形4ABC, P是三角形内一点，PA = 3, PB = 4, PC=5.求/ APB度数。3、P是等边三角形 ABC内一点，/APC、/ APB、/ BPC之比为5、6、7,以PA , PB , PC为边的三角形三个内角的大小。4、已知：在三角形 ABC中，/ ACB=90 , AC=BC,点D为AB的中点，AE=CF.求证:5、AABC中，E是BC的中点，D是CA延长线上一点， 且AD=1/2AC , DE交AB于F, 求
2、证：DF=EF 。答案：1、解：过 C作CG，AC交AE延长线于 G.力，3口于5,所以/ DBA= /GAC（者B与/ EAB互余）又 AB=CA , / DAB= / GCA=90 . DABGCA(角边角)/ ADB= / CGA,AD=CG又 AD=DC,所以 CD=CG又. / GCE=/DCE=45 , CE=CE. GCEADCE (边角边)/ CGA= / CDE/ ADB= / CDE2、解：以PA为一边，向外作正三角形 APQ，连接BQ,可知 PQ=PA=3 , / APQ=60 ,由于 AB=AC , PA=QA , / CAP+ / PAB=60 = Z PAB+ /
3、BAQ，即：/ CAP= / BAQ所以CAPBAQ 可得：CP=BQ=5 ,在4BPQ中，PQ=3 , PB=4 , BQ=5 ,由勾股定理，知 BPQ是直角三角形。所以Z BPQ=90 所以/ APB= ZAPQ+ / BPQ=60 +90 =150 。3、解： 在AP的一侧以AP长为边作等边 APD,使D位于4ABC外AC边一侧，易证ABPACD (SAS)因此，CD = PB, PD = PA, 4APD就是以 AP、BP、CP为边的三角形设/ APB = 5x, / BPC=6x, / APC=7x,由周角为 360 ,得/ APB+ /BPC+ ZAPC=18x =360，x=20
4、 ,于是，/APC=140 , Z APB =100 , /BPC = 120. Z DPC = Z APC -60 = 80,/ PDC=Z ADC -Z ADP =Z APB - 60 =40,从而/ PCD = 180 - (/ DPC+PDC ) =60所以，三内角的比为 40: 60: 80 =2: 3: 44、证明：连接CD . /ACB=90 , AC=BCABC是等腰直角三角形/ A=45. . D是AB中点AD=0.5AB,CD=0.5AB . AD=CD又 AE=CFADEA CDF(SAS) ./ AED= ZCFD ./ CFD+ / CED=180 / CFD+ /
5、FDE+ / DEC+ / ACB=360 / ACB=90/ FDE=90 DEXDF5、证明：连接E和AC的中点G,EG为4ABC的中位线.eg Ab .AD=1/2AC=AG .AF为ADEG的中位线.DF=FE6、证明：(1) ,ABC ADE都是等边三角形， .AE=AD AB=AC /EADW BAC=60 ,Z EAR / BADW BAC- / BAD即：/ EAB4 DAC. .AB*AACD( SAS;(2)证明：. AB9AACDBE=DC / EBA至 DCA又 BF=DC.BE=BF.ABC是等边三角形，/ DCA=60 , .BEF为等边三角形./ EFB=60 , EF=BF.ABC是等边三角形，/ABC=60 , / ABCW EFBEF/ BC 即 EF/ DC .EF=BF BF=DC .EF=DC 四边形EFCD平行四边形.
