1、习题 11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f ，质量为 m ，求它的弹性系数。解：由公式 fo1K m2得：M mK m(2 f ) 2 m1-2设有一质量M m 用长为 l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：（ 1）当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（ 2）当外力去掉后，质点M m 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？f01g（答：2， g 为重力加速度）l图 习题 1 2解：（ 1）如右图所示，对M m 作受力分析：它受重力M m g ，方向竖
2、直向下；受沿绳方向的拉力T ，这两力的合力 F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则 sinl受力分析可得：FM m g sinM m gl（ 2）外力去掉后 ( 上述拉力去掉后 ) ，小球在 F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知：FM md2dt 2则d2d2gM m d t 2M m g l即d t2l0,20g1g即f0,这就是小球产生的振动频率。l2 l1-3有一长为 l 的细绳，以张力T 固定在两端，设在位置x0 处，挂着一质量M m ，如图所示，试问：(1)当质量被垂直拉离平衡位置时，它所受
3、到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？图 习题 1-3(2)当外力去掉后，质量 M m 在此恢复力作用下产生振动， 它的振动频率应如何表示？(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对 M m 进行受力分析，见右图，Fxlx0x00Tx0 )2T(l2x022（x0 ， x022x02 ,(lx0 ) 22(l x0 ) 2。）F yTT(l x0 )22x022TTx0lx0Tlx0 (lx0 )可见质量 M m 受力可等效为一个质点振动系统，质量MTlM m ，弹性系数 k。x0 (lx0 )（ 1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为FTl，方向为竖直向下。x0 (l
4、 x0 )（ 2）振动频率为KTlMx0 (l。x0 ) M m（ 3）对分析可得，当 x0l时，系统的振动频率最低。21-4设有一长为 l 的细绳，它以张力 T 固定在两端， 如图所示。 设在绳的 x0 位置处悬有一质量为M 的重物。求该系统的固有频率。 提示： 当悬有 M 时，绳子向下产生静位移0 以保持力的平衡， 并假定 M 离平衡位置 0的振动位移很小，满足0 条件。图 习题 1 42T cosMg解： 如右图所示，受力分析可得cos04Mg0l1 l2又0 ， T T ，可得振动方程为2T0M d2ld t 22即M d24TT40d t 2ll14T l1Mg1gfM20 M220
5、1-5有一质点振动系统，已知其初位移为0 ，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解：设振动位移a cos(0 t) ，速度表达式为 v0 a sin(0t) 。由于t 00， v t 00 ，代入上面两式计算可得：0 cos0 t；v00 sin0t 。12122振动能量 EM m vaM m0a 。221-6 有一质点振动系统，已知其初位移为0 ，初速度为 v0，试求其振动位移、速度、和能量。解： 如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为K m ，质量为 M m ，取正方向沿x 轴，位移为 。则质点自由振动方程为d220, （其中2K m, ）d t200M m解得a cos(0t
6、0 ),d0 a sin(0t)0 a cos(0t)v002d ta cos 012220a000v 0当t 00 ， v t 0v0 时，v00 a cos( 0)v0arctan2000质点振动位移为1222cos( 0tarctanv0)00v0000质点振动速度为v222cos( 0t arctanv0)00v0002121222质点振动的能量为EM mvaM m (00v0 )221 sin 2 t ，试1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加sin t2问：(1) 在什么时候位移最大？(2) 在什么时候速度最大？解：sin t1 sin 2t ，d
7、2costcos 2 tdtd 22sint22sin 2t 。dt 2令 d0 ，得：t2k或t2k，dt3经检验后得：t2k3时，位移最大。令 d 20 ，得：tk或 t2karccos(1 ) ，dt 24经检验后得：t2k时，速度最大。1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示1 cos( t 1 )2 cos(t2 )试证明a cos(t)其中 a2221 2 cos( 21 )，arctan1 sin12 sin2121 cos2 cos12证明：1 cos(t1 )2 cos( t2 )1 cost cos11 sint sin 12 cost cos 22 sint sin 2
8、cost ( 1 cos12 cos2 )sint(1 sin12 sin2 )设 A1 cos12 cos2， B( 1 sin12 sin2 )则AcostB sint =A2B2 cos(t)（其中arctan( B) ）A又 A2B212 cos2122 cos222 12 cos 1 cos212 sin 2122 sin222 12 sin1 sin2222 1 2 (cos1 cossin1 sin2 )122222 12 cos( 21 )12又B)s i ns i na r c t a n (1122)Aa r c t an (2 c o s 21 c o s 1令2B222
9、2 12 cos( 21 )aA12则a c o s (t)1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示1 cosw1t2 cosw2 t( w2w1 )试证明a cos(w1t) ，其中 a222 1 2 cos( wt) ,arctan2sin( wt )12, w w1 w2 .12 cos( wt)解： 因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知，222 12 cos( w2 t w1 t)a12222 12 cos( wt )12其中， ww2w1 。由三角形面积知，1sin wt11 21 a sin22得sin2 sinwta得tg2 sin wt22 sin 2 wta2
10、2 sinwt(12 cos wt )22 sinwt12 coswt故2 sinwt2 coswt1即可证。1-10 有一质点振动系统，其固有频率f0 为已知，而质量Mm 与弹性系数K m 待求，现设法在此质量Mm 上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.1证由胡克定理得mg Km1 mg/K m1由质点振动系统固有频率的表达式1K mK mmgf 0得， M m.2M m4 2 f 024 2 f 0 2 1纵上所述，系统的质量Mm 和弹性系数K m 都可求解 .1-11 有一质点振动系统，其固有频率f 0 为已知，而质量 Mm 与弹性系
11、数待求，现设法在此质量Mm 上附加一质量 m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。解： 由f01 K m得 K m(2 f 0 )2 M m2M m由 f 01K mm得 K m(2 f0 ) 2 (M m m, )2M m联立两式，求得M mmf 022 ， K m4 2 mf0 2 f 0 22f 022f 0f0f 01-12 设有如图 1-2-3和图 1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。图 1-2-3图 1-2-4解： 串接时，动力学方程为d 2K 1 m K 2 m0，等效弹性系
12、数为K 1m K 2 m。M mK 1m K 2 mKdt 2K 1 m K 2 md 2( K 1mK 2m )0，等效弹性系数为 KK 1mK 2 m 。并接时，动力学方程为M mdt 21-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0100 mm可称 0 1 kg 。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4 kg ，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1 s ，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解： 设该岩石的实际质量为M ，地球表面的重力加速度为g9.8 m s2 ，月球表面的重力加速度为gFMKx, 又
13、FMMg则 KMg1g由虎克定律知x10 g0.122M1 则 M10 g109.82.5kgTK4 2420又 x1则 x0.04mx0.4MgKx 则 gKx420.041.58 m s2M故月球表面的重力加速度约为1.58m s2 ，而该岩石的实际质量约为 2.5kg 。1-14 试求证a costa cos(t)a cos(t2 )acos(t (n 1) )sin n2 cos(n1)atsin22证 ae j tae j ( t)ae j ( t 2 )ae j ( t (n 1) )ae jt(1e j)ae jt1ej nae jt1cosnj sin n1ej1cosj si
14、n2sin2nj sin nsin nsin nj cos naejt2aejt2222sin22j sinsin2sinj cos22nj (n)nj n 1nae j tsine22ae j tsinasinj ( tn 1)2j (1)2 e 22e2sinesinsin22222同时取上式的实部，结论即可得证。1-15 有一弹簧 K m 在它上面加一重物 M m ，构成一振动系统，其固有频率为f0 ，(1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？(2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率f 0 不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？解：固有频率
15、 fo1K m。2M m（ 1） f 0f 0K mK m，故应该另外串接三根相同的弹簧；24（ 2） M mM mK m2K m ，故应该另外并接一根相同的弹簧。2f 0f 01-16 有一直径为d 的纸盆扬声器， 低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为M m ，弹性系数为K m 。试求该扬声器的固有频率。解： 该扬声器的固有频率为f01K m 。2 M m1-17 原先有一个 0.5 的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5 质量的振幅在1s 内减少到初始值
16、的 1/e 倍，试计算：（ 1）这一系统的力学参数 K m， Rm， f0；（ 2）当 0.2 的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（ 3）在经过 1s 后，系统具有的平均能量。解：（ 1）由胡克定理知，K m mg/所以K m 0.2 9.8/0.04=49N/me1/ e1Rm故Rm1N s/ m2M mw0w02f014911.57Hz20.5（ 2）系统所具有的能量E1 K m21490.0420.0392 J1 K m 022（ 3）平均能量 E2 e 2t5.3110 3 J21-18 试求当力学品质因素Qm0.5 时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻0 ， vv0 ，试讨论
17、解的结果。解：系统的振动方程为：M m d 2Rm dK m0dt 2dt进一步可转化为，设Rm，2M md 22d20dt 2dt设：ei t于是方程可化为：(22 j02 )e j t0解得：j (202 )e(202 )t方程一般解可写成：et202tBe202 t)( Ae存在初始条件：t0 0 ， v t0 v0代入方程计算得：Av0， Bv022222200解的结果为：et( Ae202 tBe202 t)其中Av0， Bv0。222222001-19有一质点振动系统，其固有频率为f1 ，如果已知外力的频率为f2 ，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解： 质点振动系统在外力作用下作
18、强迫振动时弹性抗为K M ，质量抗为 M M已知 f050Hz ， f300Hz则 ( K M ) (1 K M2M M ) 02M M242f02(50)2142f 2(300)2361-20 有一质量为0.4kg 的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m 的弹簧上，试问：(1) 这系统的固有频率为多少？(2) 如果系统中引入 5kg/s 的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？(4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？解： (1)考虑弹簧的质量，1K m1150f 0M m M s / 320.4 0.3 / 32(2) 考虑弹簧
19、本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Rm51221150220.55 ， f02020.4 0.3/ 352M m(3)品质因素 Qm0 M m16.580.51.66，Rm5位移共振频率：f rf0 1122.39Hz .2Q m(4)速度共振频率： f rf 02.64Hz ，加速度共振频率：f rQmf 01122.92Hz .2Q m2.76Hz .Mm为 Mm+Ms / 3.2.64Hz .1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于2。Qm解：系统每个周期损耗的能量EWF T1 Rm va2T21
20、2E2RmvaTE122M m va发生速度共振时，ff0 。ERmEf 0 M mRm，fM m22。0 M mQmRm1-22 试证明：（ 1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率f 0 ；（ 2）假定 f1 与 f 2 为在 f 0 两侧，其平均损耗功率比f 0下降一半时所对应的两个频率，则有Qmf 0.f 2f1证明：（ 1）平均损耗功率为WR1T1 Rmva2 （ Rm 为力阻， va 为速度振幅）WRdtT质点强迫振动时的速度振幅为02vFaQm z, ( F为外力振幅，为固有频率， M为质量， Q为力a0m( z21)2 Qm2am0M m z
21、2学品质因素，频率比zf ）0 f 0当 z =1 即 ff0 时，发生速度共振，va 取最大值，产生最大的平均损耗功率。（ 2）12WR2 Rm vaW Rmax121RmFa2 Qm22Rmvamax 202 M m2WR =1 W R max 则1 Rmva2 1(1 RmFa2 Qm2)即2va2 Fa2Qm2（ 1）222202 M m202 M m2把 vaFaQmz, 带入式（1），则 z2(z21)22Mz2( z21)2 Q2Qm （2）0mm由式（ 2）得z (z21)Qm 解得 z11 4Qm2取 z1114Qm22Qm2Qmz (z2 1)Qm 解得 z1 1 4Qm2取 z21 1 4Qm22Qm2Qm则 z2 z11f 2f1f2f11即f 0f 0f0QmQmQmf0f 2f 11-23 有一质量为0.4 的重物悬挂在质量可以忽略，
