1、专题七类比、拓展探究题类型一图形旋转引起的探究(2019、2019、 2019.22)试题演练1. (2019 许昌模拟 )如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 AB 边的中点，以AE 为边作正方形 AEFG，连接 DE，BG.(1)发现线段 DE、 BG 之间的数量关系是 _；直线 DE、 BG 之间的位置关系是 _(2)探究如图，将正方形AEFG 绕点 A 逆时针旋转， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由(3)应用如图，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周， 记直线 DE 与 BG 的交点为 P，若 AB4，请求出点 P 到 CD 所在直线
2、距离的最大值和最小值第 1 题图2. 在菱形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，MON BCD 180， MON 绕点 O 旋转，射线 OM 交边 BC 于点 E，射线 ON 交边 DC 于点 F，连接EF.(1)如图，当 ABC 90时， OEF 的形状是 _；(2)如图，当 ABC 60时，请判断 OEF 的形状，并说明理由；(3)在(1)的条件下，将 MON 的顶点移到 AO 的中点 O处，MON 绕点 O 旋转，仍满足 MO N BCD180，射线 OM 交直线 BC 于点 E，射线O N 交直线 CD 于点 F，当 BC ，且S OEF9时，直接写出线段 CE 的长
3、4S四边形 ABCD8第 1页3. (2019 南阳模拟 )已知 ABC 和 ADE 是等腰直角三角形， ACB ADE90，点 F 为 BE 中点，连接 DF 、CF.(1)如图，当点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，请直接写出此时线段DF、 CF 的数量关系和位置关系 (不用证明 )；(2)如图，在(1)的条件下将 ADE 绕点 A 顺时针旋转 45时，请你判断此时 (1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图，在 (1)的条件下将 ADE 绕点 A 顺时针旋转 90时，若 AD 1，AC 2 2，此时线段 CF 的长 (直接写出结果 )第 3 题图4. 某研究性学习小组
4、进行了探究活动，在 ABC 中， C90， AB10，AC 6，点 O 是 AB 的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O 旋转，图中的 M、N 分别为直角三角板的直角边与AC、BC 的交点(1)如图，当三角板的一条直角边与OB 垂直时，点 M 与点 A 重合，求此时 CN 的长；写出 AC2、CN2、BN2 满足的数量关系： _；(2)当三角板旋转到如图所示的位置时，即点M 在 AC 上(不与 A、C 重合 )，猜想图中 AM2、 CM2、CN2、 BN2 满足的数量关系： _；并说明你得出此结论的理由；(3)若在三角板旋转的过程中满足 CMCN，请你利用图并联系上述结论，求出此时 BN 的
5、长第 4 题图答案试题演练1. 解： (1)DEBG；第 2页 DE BG；【解法提示】四边形ABCD 是正方形， ABAD， BAD 90，四边形 AEFG 是正方形， AEAG， BAG 90， AED AGB， DE BG；如解图，延长DE 交 BG 于点 Q，第 1 题解图由 AED AGB 得 ABG ADE， AED ADE90， AED BEQ， BEQ ABG90， BQE 90， DE BG；(2)(1)中的结论仍然成立，证明：四边形AEFG 和四边形 ABCD 是正方形， AEAG， AD AB， EAG DAB90， EAD GAB90 EAB，在 EAD 和 GAB 中
6、， EAD GAB(SAS)， ED GB；证明：如解图，设BG 与 ED 交于点 H，AB 与 ED 交于点 M，第 1 题解图 EAD GAB，第 3页 GBA EDA， AMD ADM 90， BMH AMD ， BMH GBA AMD EDA90， DHB180 90 90， ED GB；(3)如解图，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周，即点 E 和 G 在以 A 为圆心，以 2 为半径的圆上，过点 P 作 PHCD 于点 H，当 P 与 F 重合时，此时 PH 最小，第 1 题解图在 RtAED 中， AD4，AE2， ADE 30， DE 42 22 2 3， DF DE
7、 EF 2 32， AD CD， PHCD ， AD PH， DPH ADE30，3 PH 2 (2 32) 3 3； DEBG， BAD 90，以 BD 的中点 O 为圆心，以 BD 为直径作圆， P、A 在圆上，当 P 在AB的中点时，如解图，此时PH 的值最大，第 1 题解图 ABAD 4，由勾股定理得 BD 4 2，则 OBOP2 2， PH 2 2 2.第 4页综上所述，点 P 到 CD 所在直线距离的最大值是222，最小值是 33.2. 解： (1)等腰直角三角形；【解法提示】在菱形 ABCD 中， ABC90，菱形 ABCD 是正方形， OB OC， BOC90， BCD90，
8、EBO FCO 45， BOE COE90， MON BCD 180， MON90， COF COE90， BOE COF，在 BOE 与 COF 中， BOE COF(ASA) ， OE OF， MON90， OEF 是等腰直角三角形；(2)OEF 是等边三角形；理由：如解图，过O 点作 OGBC 于 G，作 OH CD 于 H，第 2 题解图 OGE OGC OHC 90，四边形 ABCD 是菱形， CA 平分 BCD， ABC BCD 180， OG OH， BCD 180 60 120， GOH OGC BCD OHC360， GOH BCD180，第 5页 MON BCD 180，
9、GOH EOF60， GOH GOF FOH， EOF GOF EOG， EOG FOH ，在 EOG 与 FOH 中， EOG FOH(ASA) ， OE OF， EOF 60， OEF 是等边三角形；(3)3 33或 3 33.【解法提示】如解图，在菱形ABCD 中， ABC 90，四边形 ABCD 是正方形，OC3 AC 4，过点 O作 OG BC 于 G，作 OH CD 于 H，第 2 题解图 OGC O HC BCD90，四边形 OGCH 是矩形， OGAB，OH AD， OG OH OC 3 AB AD AC 4， ABBC CD AD 4，第 6页 OGOH 3，四边形 OGCH
10、 是正方形， GC OG3， GO H90， MON BCD 180， EOF MO N90， EOF GO H 90， GOH GOF FOH， EO F GOF EO G， EOG FO H ，在 EOG 与 FOH 中， EOG FO H(ASA) ， OEOF， OEF 是等腰直角三角形， S 正方形 ABCD4416，S O EF9S四边形 ABCD ，8 S OEF18，12 S OEF2OE， OE6，在 RtO EG 中， EGO E2O G222，633 3 CE CG EG3 3 3，根据旋转可知，当 MON旋转到如解图所示位置时， CE E GCG 3 33.综上可得，线
11、段CE 的长为 333或 33 3.3. 解： (1)DF CF；DF CF；第 7页【解法提示】 ACB ADE 90，点 F 为 BE 中点，11 DF 2BE，CF 2BE， DF CF. ABC 和 ADE 是等腰直角三角形， ABC 45， BFDF ， DBF BDF ， DFE DBF BDF ， DFE 2 DBF，同理 CFE2CBF， EFD EFC 2DBF 2 CBF2ABC90， DF CF.(2)(1)中的结论仍然成立；证明：如解图，此时点D 落在 AC 上，延长 DF 交 BC 于点 G，第 3 题解图 ADE ACB 90， DE BC， DEF GBF， ED
12、F BGF， F 为 BE 中点， EFBF， DEF GBF， DE GB， DF GF ， AD DE， AD GB，第 8页 AC BC， AC AD BC GB， DC GC， ACB 90， DCG 是等腰直角三角形， DF GF， DF CF， DF CF；10(3)CF2 .【解法提示】如解图，延长DF 交 BA 于点 H，第 3 题解图 ABC 和 ADE 是等腰直角三角形， AC BC， AD DE， AED ABC45 . CAE ACB90， AEBC， AEB CBE， DEF HBF . F 是 BE 的中点， EFBF， EFD BFH ， DEF HBF ， ED
13、 HB， DF HF. AC 2 2， AB4. AD 1，第 9页 ED BH 1， AH 3，在 RtHAD 中由勾段定理，得DH 10，1 10 DF HF 2DH 2 .易证 DF CF，10 CF 2 .4. 解： (1) C90， AB10， AC 6， BC AB2 AC2 8，点 O 是 AB 的中点，1 BO 2AB5， BON C90， B B， BNO BAC，BOBN BC BA， 5 BN ，81025 BN 4 ，25 7 CN BC BN 8 4 4； BN2AC2CN2；【解法提示】如解图，连接 AN， NO AB， AO BO， AN BN，在 RtACN 中
14、， AN2AC2CN2，即 BN2AC2 CN2.第 10 页第 4 题解图(2)AM2BN2 CN2CM2；证明：如解图，延长MO，使 OK MO，连接 KB、NM、NK，在 KOB 和 MOA 中， KOB MOA(SAS)， KB AM， A KBO， NO MO，KO MO， NK NM， A ABC90， KBO ABC90，即 KBN 90，在 RtKBN 和 Rt MNC 中，KB2 BN2KN2， CN2CM2NM2， KB2BN2CN2CM2，即 AM2 BN2CN2CM2；第 4 题解图(3)由(2)得：AM2 BN2CN2CM2，设 CMCNx，则 BN8x， AM6x，代入上式得 (6x)2(8x)2 2x2，解得 x257，第 11 页2531 BN 8 x8 7 7 .第 12 页
