1、学生：黄伊凡科目：数学第阶段第次课 教师： 周青课题命题与证明了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。教学目标了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。会根据一些基本事实证明简单命题。通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。重点、难点掌握证明的一般步骤与格式考点及考试要求知识框架知识要点梳理知识点一：定义要点诠释： 一般地，能清楚地规定某一称或名术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义知识点二： 命题要点诠释
2、： 一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题 （句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断与判断的正确与否没有关系）知识点三： 命题的结构要点诠释： 命题可看做由题设(或条件 )和结论两部分组成题设是已知事项 ，结论是由已知事项推出的事项知识点四： 公理要点诠释： 人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短” ， “一条直线截两条平行所得的同位角相等”知识点五：定理要点诠释： 用推理的方法判断为正确的命题叫做
3、定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。知识点六：真命题与假命题要点诠释： 如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。知识点七： 证明要点诠释： 由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能 “想当然 ”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。 （证明命题的格式一般为： 1）按题意画出图形； 2）分清命题的条件和结论，结合图形在 “已知 ”中写出条件，在 “求证 ”中写出结论；
4、3）在 “证明 ”中写出推理过程）知识点八： 假命题的判定要点 ： 只需 出反例，它符合命 的 ，但不 足 ，即可判定 命 是假命 。知 点九： 反 法要点 ： 从假 所需 的命 的 不成立出 ， 合条件推出与已知条件或正确命 相矛盾的 ， 明假 ，原命 成立的 明方法二、 律方法指 1.数学中判定一个命 是真命 ，要 明要判断一个命 是假命 ，只需 一个反例即可2. 明的意 ：在几何中，除了公理以外，不管所 及的命 的 是多么明 ，都必 通 推理来 明3.反 法的适用范 （ 1）已知条件很少或由已知条件能推得的 很少；（ 2）命 的 以否定形式出 ；（ 3）命 的 以 “至多 ”、“至少 ”
5、的形式出 （ 4）命 的 以 “唯一 ”的形式出 ；（ 5）命 的 以“无限 ”的形式出 ；（6）关于存在性命 ；（ 7）某些定理的逆定理。四、 典例 透析 型一： 例、判断下列 句在表述形式上， 哪些 事情作了判断？哪些没有 事情作出判断？（ 1） 角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直 平行，同位角相等；（），两条直 平行 ? (5) 是 物；(6) 若，求的 ；(7)若， 思路点 :通 本 熟悉命 的定 解析：句子 (1)(3)(5)(7) 事情作了判断，句子 (2)(4)(6) 没有 事情作出判断其中(1)(3)(5) 判断是正确的，（ 7）判断是 的 升 ： 数学 的主要研究
6、象是数学知 ，所以今后的相关学 是研究数学命 。 一反三：【 式 1】下列 句中，哪些是命 ，哪些不是命 ?(1) 若 a b， ；(2) 三角形的三条高交于一点；(3) 在 ABC 中，若 AB AC ， C B 吗 ?(4) 两点之 段最短；(5) 解方程；(6)1 23【答案】（1）（ 2）（ 4）（ 6）是命 ，（3）（ 5）不是命 型二：例、指出下列命 的条件和 ，并改写成“如果 那么 ”的形式：(1) 三条 相等的两个三角形全等；(2) 在同一个三角形中，等角 等 ；(3) 角相等；(4) 同角的余角相等；(5) 三角形的内角和等于 180；(6) 角平分 上的点到角的两 距离相等
7、思路点 : 找出命 的条件和 是本 的 点，因 命 在叙述 要求通 和 ，把命 中的有些 或句子省略了，在改写 注意要把省略的 或句子添加上去 升 ： 注意原命 中省略的重要内内容一定要 充完整。 一反三：【 式 1】 将下列各个命 的 和 相互 倒或 否定式，得到新的命 ，并判断 些命 的真假(1) 角相等；(2) 两直 平行，同位角相等；(3) 若 a=0， ab=0；(4) 两条直 不平行， 一定相交；【变式 2】判断正误：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。（ ）(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。（ ）(3)如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。（ ）(4)如果
8、两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。（ ）(5)如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。（ ）(6)如果两个角的和是 180，那么这两个角是邻补角。（ ）(7)对顶角的角平分线在同一条直线上。（ ）(8) 如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。类型三：例、证明： “如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直 ”思路点拨 : 总结步骤：1审题：分清命题的“题设 ”和 “结论 ”2译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证3想题：用 “执因索果 ”(综合法 )；用 “执果索因 ”(分析法 )寻找论证推理的逻辑思路一般是把二
9、者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法4证题：从已知出发，每一步过程要有根据 (定义，公理或定理 ) 最后得到结论，全面推理过程要因果分明解析： 已知： a / b ， ac ，求证： bc证法 (一 )： ac， (已知 ) 1=90(垂直的定义 ) a b， (已知 ) 1=2， (两直线平行，同位角相等) 2=90，(等量代换 ) b c (垂直定义 )【变式 1】求证：同角的余角相等知： 2是 1的余角， 3是 1的余角证： 2= 3案】证明：因为2与 1互为余角，以 2+ 1=90， (余角定义 (等量代换 )， (已知 )【答已求所则 2= 3 (等量减等量差相等 ) 类型四：
10、（使用反证法 )例、已知：如右图， 直线 l1 ,l2 ,l 3 在同一平面内， 且 l1 / l 2 ， l3 与 l1 相交于点 P .求证： l3与 l 2 相交思路点拨 :仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。解析： 证明：假设，即 l3，又 l1 /l2 （已知）， 过直线 l 2 外一点 P 有两条直线 l1 , l3 与直线 l2 平行，这与 “经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 假设不成立，即求证的命题成立， l3 与 l2 相交【变式 1】用反证法证明2 不是有理数证明：，则2 可表示为 2n， 为自然数，且互质）（n2m两边平方，得2m2 2m2n2
11、由知m2 必是 2的倍数，进而必是 2的倍数令m 2 p 代入式由知，n 必是 2的倍数 m 和 n 都是 2的倍数，则 m 、 n 不互质，2 不是有理数【变式 2】我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日证明：所以这 367人就会有不同的367天过生日这就出现了与的矛盾因此反设不成立。所以 “至少有两个学生在同一天过生日”五、学习成果测评基础达标：选择题：1、下列语句不是命题的是（）A 、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、 x 与 y 的和等于 0吗？D、对顶角不相等。2、命题：对顶角相等；垂直于同一条直线的两直线平行；相等的角是对顶角；同位角
12、相等。其中假命题有（）A 、1个B 、 2个C、 3个D 、4个3、如图， ABC 中，,BE 平分 ABC ，垂足为 D ，如果，那么的值为（）A 、2B 、 3C、 5D 、 44、下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）A 、一个角是 45的两个等腰三角形B 、两个等边三角形C、腰长相等的两个等腰直角三角形D 、各有一个角是40，腰长都为 5的两个等腰三角形5、等腰三角形的一个外角是80，则其底角是（）A 、40B、 100或40C、 1006、如图， Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，角平分线于 F，则下列结论中不正确的是（） ACD= BB、 CH=CE=EFD 、80
13、AE 交CD于H，EFABA 、C、AC=AFD、 CH=HD一平面内 ,两条直线可能的位置关系是（）行B、相交C、平行或相交8、如图，已知AB AC ，BE CE ，延长 AEA 、1对B 、2对C 、 3对D、 平行、相交或垂直交 BC 于 D，则图中全等三角形共有（D 、 4对7、在同A 、 平）填空题：9、把命题：三角形的内角和等于180改写如果 _，那么 _；并找出结论_。10、命题的定义是：_ 。11、判断角相等的定理（写出2 个） _ ，_ 。12、判断线段相等的定理（写出2 个） _ ，_ 。13、写出下列假命题的反例：1） 有两个角是锐角的三角形是锐角三角形。_2） 相等的角是对顶角。_14、已知：如图，直线 a,b 被 c 所截， 1， 2 是同位角，且 1 2，求证： a 不平行 b 证明：假设 _ ，则 _，（ ）这与 _ 相矛盾，所以 _ 不成立，所以a 不平行 b。15、填空已知：如图， AD BC求证： AD 平分 BAC 明： AD BC ，EF BC（已知）于D， EF BC于 F，交AB于G，交CA延长线1 2证 _（ _ ）平 _ _（两行，内错角相等） ，_ _ （两直线直线平行，同位角相等） _ （已知） _即 AD BAC （_ ）平分一元二次方程复习
