1、名校名 推荐2019 届北师大版（文科数学）平面向量(4)单元测试一、选择题1已知向量a (1 ，3)，b (3， m). 若向量 a，b 的夹角为，则实数m ()6A 2 3B. 3C0D 3解析： 选 B. 因为 ab (1， 3) (3， m) 3 3m，又 ab12 （3） 232 m2 cos6，所以 33m12（3） 2 32 m2 cos ，所以 m 3.62已知向量 a， b 均为单位向量，若它们的夹角是60，则 |a3b| ()A 3B 2C 13D. 7解析： 选 D.( a 3b)2 |a|2 6ab 9|b|2 1 6cos60 9 7，所以 |a 3b|7，故选D.2
2、3设单位向量e1， e2 的夹角为，a e1 2e2， b 2e1 3e2 ，则 b 在 a 方向上的投影3为()A 323B 333C 3D.221，解析： 选 A. 依题意得 e1e2 1 1 cos32|a|（ e1 2e2） 2e21 4e22 4e1e23，ab (e1 2e2) (2e1 3e2) 2e21 6e22 e1 e2 9 9，因此 b 在 a 方向上的投影为ab2 3 3，故选 A.2|a|324 (2018 郑州质量预测 )在矩形ABCD 中， AB 3， BC3，BE 2EC，点 F 在边 CD )上若 ABAF3，则 AEBF的值为 (83A 0B.3C 4D 4
3、 2 2 3 解析： 选 C.BE 2EC? |BE| 3|BC| 3.设 AB与 AF的夹角为， ABAF 3? |AF |cos ， AD 为 x 轴， AB 为 y 轴，则 B(0， 3)，1? |DF | 1.以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系1名校名 推荐 2 3 3 2 3 2 6 4，故选F( 3， 1) ， E 2 3， 3 .因此 BF ( 3， 2) ， AEBF 33C. 5已知 ABC 为等边三角形， AB 2，设点 P，Q 满足 AP AB，AQ (1 )AC， 3，则 ()R ，若 BQCP2A 1B.322C2D 3 解析： 选 A. 因为 BQ AQ AB (
4、1 )AC AB，CP AP AC AB AC，又 BQCP 3， |AB， AC60 ， ABAC|AB2| |AC | 2， AB| |AC|cos 60 2，所以3(1 )AC AB(AB AC)，2 22 23即 |AB| ( 1)ABAC(1 )|AC| ，2所以2314 2( 1)4(1 ) ，解得 .226.如图， AB 是半圆 O 的直径， P 是 AB上的点， M，N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点，且 AB6， MN 4，则 PMPN等于 ()A 13B 7C5D 3解析： 选 C.连接 AP ，BP，则 PM PAAM， PN PB BN PB AM ，所以 PM
5、PN 2 2( PA AM ) (PB AM ) PA PB PA AM AM PB |AM | PA AM AM PB |AM | 2AMAB |AM| 1 6 1 5.二、填空题37若单位向量 e1，e2 的夹角为3，向量 a e1 e2( R)，且|a| 2，则 _解析： 由题意可得12212321e1e2，|a| (e1 e2) 1 2 ，化简得 0，22441解得 .22名校名 推荐答案： 128已知向量 m ( 1， 1)， n ( 2，2)，若 (m n) (m n)，则向量 m， n 的夹角的余弦值为 _解析：因为 mn (2 3，3)，mn ( 1， 1)，所以由 (m n)
6、 (m n)得 (m n) (m n) 0，即 (23) ( 1) 3 ( 1) 0，解得 3，则 m ( 2，1)， n ( 1，2)，所mn4以 cos m， n |m|n| 5.答案： 459(2018 石家庄质量检测 (一 ) 已知 AB与 AC的夹角为90，|AB |2，|AC|1，AM AB AC(， R)，且 AMBC 0，则 的值为 _解析： 根据题意 ，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0， 0)， B(0， 2)， C(1， 0)， 所以 AB (0， 2)， AC (1， 0)， BC (1， 2)设 M(x， y) ，则 AM (x，y) ，所以 AM BC(x，
7、y) (1 ， 2) x 2y 0，所以 x 2y，又 AM AB AC，即 (x， y) (0， 2) (1， 0)1 2y1( ， 2)，所以 x ， y2， 所以 . x4答案： 1410如图，菱形ABCD 的边长为2， BAD 60， M 为 DC 的中点，若N 为菱形内任意一点 (含边界 )，则 AM AN的最大值为 _解析： 由平面向量的数量积的几何意义知 ，AM AN等于 |AM |与 AN在 AM方向上的投影之 1 1 2 23 积，所以 (AMAN)max AMACABAD(AB AD )AB AD ABAD 9.222答案： 9三、解答题11已知 |a|4， |b| 3，
8、(2a 3b) (2a b)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；3名校名 推荐(2)求 |a b|；(3)若 AB a， BC b，求 ABC 的面积解： (1)因为 (2a 3b) (2a b) 61，22所以 4|a| 4ab 3|b| 61.又 |a| 4， |b| 3，所以 64 4ab 2761，所以 ab 6，所以 cos ab 61.|a|b|4 322又 0 ， 所以 3.(2)|a b|2 (a b)2 |a|22ab |b|2 42 2 ( 6) 32 13，所以 |ab|13. 2(3)因为 AB与 BC的夹角 ，32 所以 ABC .33又 |AB| |a| 4， |
9、BC| |b| 3，1 1 433 3 3.所以 S ABC|AB|BC| sin ABC22212在平面直角坐标系xOy 中，点 A( 1， 2)， B(2， 3)，C( 2， 1)(1)求以线段AB，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数 t 满足 (AB tOC) OC0，求 t 的值 解： (1)由题设知 AB (3， 5)， AC( 1，1)，则 AB AC (2， 6)，AB AC (4， 4)所以 |AB AC| 2 10， |AB AC| 4 2.故所求的两条对角线的长分别为42， 2 10.(2)由题设知： OC ( 2， 1)， AB tOC (3 2t， 5 t)由 (AB tOC) OC 0，得：(3 2t， 5 t) (2， 1) 0，从而 5t 11，所以 t 115 . 2或者： ABOC tOC， AB (3， 5)， 11ABOCt 25 .|OC|4
