1、 2.2 抛物线的简单性质（2）教学目标：熟悉抛物线的几何性质；2了解抛物线的简单应用教学重点：抛物线的几何性质的应用教学过程一、复习：1、抛物线定义、抛物线的标准方程2、抛物线的几何性质二、引入新课例 2. 斜率为 1 的直线经过抛物线y2=4x 的焦点， 与抛物线相交于两点 A、B，求线段 AB的长 .分析：例 2 是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将 AB 分段转化成点 A、B 到准线距离，从而达到求解目的.解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F （ 1，
2、 0），所以直线AB 的方程为 y=x1.将方程代入抛物线方程y2=4x,得（ x 1） 2=4x 化简得 x2 6x 1=0解之得： x1322, x2322.将 x1， x2 的值分别代入方程中，得y1222, y2222.即 A 、B 坐标分别为(322,222) 、(322,22 2) .| AB |(4 2) 2(42) 28.解法二：在图中，由抛物线的定义可知，|AF|等于点 A 到准线x= 1 的距离AA ,而 | AA |x11.同理 BFBBx21,于是得 |AB|=|AF |+|BF|=x1 x2 2.由此可以看到，本题在得到方程x2 6x 1=0 后，根据根与系数关系可以
3、直接得到x1x2=6于是可以求出|AB|=6+2=8.- 1 -说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.例 3. 正三角形的一个顶点位于坐标原点, 另外两个顶点在抛物线y 22 px( p0) 上 ,求这个正三角形的边长.分析 :观察图 ,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x 轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.解 : 如图 ,设正三角形OAB 的顶点 A、 B 在抛物线上 ,且坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,则:y122 px1 , y222 px2 ,又 OAOB , 所以 x12y12x22y22 .即 x
4、12x222 px12 px2 0,( x12x22 ) 2p( x1x2 )0( x1x2 )( x1x22 p) 0x10, x20,2 p0, x1x2由此可得 ,yy2,即线段 AB关于 x 轴对称 , 因为 x 轴垂直于1AB, 且 Aox=30,所以 y1tan303 .x13x1y12, y12 3 p, AB 2 y14 3 p.2 p说明 : 这个题目对学生来说 , 求边长不困难 , 但是他们往往直观上承认抛物线与三角形的对称轴是公共的, 而忽略了它的证明 . 教学时 ,要提醒学生注意这一点, 通过这一例题 , 可以帮助学生进一步掌握坐标法.小结： 本节课我们学习了抛物线的几何性质课堂练习： 略课后作业： 略- 2 -
